Es mi prueba correcta sobre límite de$\sin\left(\frac{1}{x}\right)$?

Question

Apostol del libro de Cálculo pide a mostrar que no hay un valor de $A$ tal que $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\to A$ al $x \to 0$. Y mi prueba es:

Supongamos que por el bien de la contradicción que existe $A$. Si tomamos $\epsilon=1$, tenemos dos casos:

1. Si $A>0$,$A - \epsilon > -1$, lo $-1$ no satisface $|-1-A|<\epsilon$ la desigualdad. Ahora para los que recibieron $\delta>0$ que puede tomar un número natural $n$ tal que $\frac{2-3\pi\delta}{4\pi\delta}<n$ y, a continuación,$0<\frac{1}{\pi\left( \frac{3}{2}+2n \right)}<\delta$. Pero $$f\left( \left( \frac{3}{2}\pi+2n\pi \right)^{-1} \right)=\sin \pi\left( \frac{3}{2}+2n \right)=-1.$$

2. Si $A\le0$, $A+\epsilon\le1$ $1$ no satisface $|1-A|<\epsilon$ la desigualdad. Ahora para los que recibieron $\delta>0$ que puede tomar un número natural $n$ tal que $\frac{2-\pi\delta}{4\pi\delta}<n$ y, a continuación, $0<\frac{1}{\pi\left( \frac{1}{2}+2n \right)}<\delta$. Pero $$f\left( \left( \frac{1}{2}\pi+2n\pi \right)^{-1} \right)=\sin \pi\left( \frac{1}{2}+2n \right)=1.$$

Hemos demostrado que con $\epsilon=1$ por cada $\delta>0$ existe $x$ tal que $0<x<\delta$ pero $|\sin \frac{1}{x} - A|<\epsilon$ no posee. Por lo tanto, tenemos una contradicción, de modo tal de $A$ no existe.

Es mi prueba correcta? hay un argumento más corto?. Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí es algo más fácil: cuando x → 0 sin (1 / x) toma el valor 1 número infinito de veces (cuando x = 2 / mπ - m = 1,5,9, ...) y 0 un número infinito de veces ( cuando x = 1 / nπ - n cualquier número entero). Así se puede encontrar una subsecuencia de valores de sen (1 / x) cuyo límite es 1; y otra subsecuencia cuyo límite es 0.

Para que exista el límite, todas las subsecuencias tienen que convergen al mismo número, y que claramente no es el caso aquí.

Answer 2

Que está, en esencia, mostrando que no existe secuencias$y_n,x_n$% tal que $\lim\limits_{n\to\infty} y_n=\lim\limits_{n\to\infty} x_n=0$todavía$$\lim\limits_{n\to\infty} \sin y_n^{-1}\neq \lim\limits_{n\to\infty}\sin x_n^{-1}

Esto se puede generalizar:

Hélice una función$f:(a,b)\to\Bbb R$ tiene límite$\ell$ como$x\to \xi\in (a,b)$ si y sólo si para cada secuencia de$\langle\, x_n:n\in\Bbb N\,\rangle$ de números en$(a,b)$ tal que$x_n\neq\xi$ y$x_n\to\xi$, resulta que $\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=\ell$.