Se ha demostrado esta conjetura / disproven / encontrado antes?

Question

Mi hijo de 11 años de edad, ha hecho la siguiente conjetura, y quiere saber si ya se sabe que es verdadera o falsa:

si n es un número entero, definir una operación # (n) = 1 2 3 ... .. n (como factoriales pero con la adición) La conjetura: si N es impar, entonces # (n-1) = X * n (donde X puede ser cualquier número natural). Es decir, # (n-1) debe ser divisible por n.

Answer 1

$2\#(n)=(1+2+\cdots+n)+(n+n-1+\cdots+1)=(1+n)+(2+n-1)+\cdots+(n+1)=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1)$

Asi que $\#(n)=\frac{1}{2}n(n+1)$.

Ahora $\#(n-1)=\frac{1}{2}(n-1)n$

Esto es divible por$n$ si$\frac{1}{2}(n-1)$ es un número entero.

Si$n$ es impar entonces$n-1$ es aun así$\frac{1}{2}(n-1)$ es de hecho un número entero, por lo tanto, la conjetura es cierta!

Answer 2

Sugerencia:% $1+2+...+n=\sum\limits_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Answer 3

Esa es una buena observación para una niña de 11 años a hacer!

No estoy seguro de que esto es una prueba (tal vez alguien puede comprobar), pero creo que se puede justificar.

Debido a $n$ es impar hay un número par de números en la suma que usted está considerando.

Esto significa que siempre puede ser emparejados.

Queda por demostrar que la suma es divisible por $n$ para ello elijo par de ellos hasta fuera.

Observe que cada par totales $n$.

(Siempre lo será si damos un paso hacia el interior por la misma cantidad de ambos extremos)

Aquí hay un ejemplo específico $n=7$ $$1+2+3+4+5+6+7$$

Par de $$1+6 \\ 2+5 \\ 3+4$$ Todos los pares suma a $7$