¿Cómo demostrar las desigualdades$\int_{0}^{1}\sin{(x^n)}dx\ge\int_{0}^{1}(\sin x)^ndx\ge 0$

Question

Demostrar que:$$\int_{0}^{1}\sin{(x^n)}dx\ge\int_{0}^{1}(\sin x)^ndx\ge 0$ $

Mi idea: quizá$\sin{(x^n)}\ge (\sin{x})^n？$

Answer 1

Deje$n\geqslant1$ y$u(x)=\sin(x^n)-(\sin x)^n$ #%% luego $$u'(x)=n\cdot\left(x^{n-1}\cos(x^n)-(\sin x)^{n-1}\cos x\right).$ #% x$ For every $ (0,1)$ in $ x ^ n \ leqslant x$, $ \ cos (x ^ n) \ geqslant \ cos x$ hence $ x \ geqslant \ sen x$, and $ x ^ {n-1} \ geqslant (\ sen x) ^ {n-1}$ hence $ u '(x) \ geqslant0$. Thus, $ x$ for every $ (0,1)$ in $ u (0) = 0$. Since $ x$, this proves that, for every $ (0 , 1)$ in $$, $$\sin(x^n)\geqslant(\sin x)^n,$ n \ geqslant1 $ (el hecho de que ambas integrales son no negativos es directa).

Answer 2

He aquí una formulación alternativa de lo que es esencialmente el mismo que Hizo de la solución, pero donde el cálculo es un poco menos prominente.

El hecho de que se necesitan para esta prueba es que $f(u)=\sin u/u$ es positivo, a menos de $1$, y estrictamente decreciente para $u\in(0,\pi/2)$. Es decir, para$0<u<v<\pi/2$,$1>f(u)>f(v)>0$. Y, por supuesto, esto puede ser demostrado mediante cálculo.

Enchufe $u=x^n$, $v=x$ para $x\in(0,1)$, y el uso que $x^n<x$ $f(x)^n<f(x)$ desde $x,f(x)\in(0,1)$, y obtenemos $$ f(x^n)>f(x)>f(x)^n>0 \quad\text{para todo}\quad x\in(0,1). $$ Multiplicar por $x^n$ e integrar más de $(0,1)$ para obtener $$ \int_0^1\sin{x^n}\,dx=\int_0^1 x^n f(x^n)\,dx >\int_0^1 x^n f(x)^n\,dx=\int_0^1(\sin x)^n >0. $$

Answer 3

Ahora tengo otra solución, ya que$$f(x)=\dfrac{\sin{x}}{x}$$ is Monotone decreasing in $ x \ en (0,1) $, por lo que$$\dfrac{\sin{x}}{x}\le\dfrac{\sin{x^{n}}}{x^n}$ $% #% por lo que #% $% #% desde el # $%