Cómo puede uno demostrar que $e<\pi$?

Question

Esta pregunta está inspirada por el otro, pidiendo a probar que algo que aproximadamente igual a $1.2$ es mayor que algo aproximadamente igual a $0.9$. La respuesta numérica a esta pregunta era (es de esperar) votada abajo, aunque en mi opinión es el más razonable para este tipo de problemas (${\tiny \text{which I personally find completely useless}}$).

Mi pregunta constará de 2 partes:

1. Demostrar (sin calculadora) que $e<\pi$;

2. Explique ¿qué aprendemos de la prueba/lo que hace que este problema sea interesante.

Edit: de las respuestas solo para confirmar mi punto de vista acerca de diversos extraño inequalitites. Afortunadamente no es$3$$e$$\pi$, las cosas de otra manera sería muy aburrido.

Answer 1

Inscribir un hexágono regular en un círculo de radio $1$. Desde una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos de la circunferencia del círculo es más largo que la circunferencia de la hexagonal. Tomamos la definición de $\pi$ como la mitad de la circunferencia del círculo unitario.

Poniendo todo esto junto obtenemos $2\pi \gt 6$ o $\pi \gt 3$

Tomamos $e$ como la suma de $1+1+\frac 12+\frac 1{3!}+\cdots$ que converge absolutamente y que, después de los tres primeros términos, es el término por término inferior a la suma de $1+1+\frac 12+\frac 1{2^2}+\cdots$ desde finales de los términos en la segunda suma se obtiene dividiendo el término anterior por $2$, y en la primera suma por $n\gt 2$ (crudamente por $n\ge 3$ tenemos $n!\gt 2^{n-1}$).

Suma de la serie geométrica tenemos $e\lt 3 \lt\pi$.

¿Qué podemos aprender bien lo fácil que es hacer una estimación depende de la definición. La definición geométrica de $\pi$ se presta para una buena estimación. Hay diferentes maneras de definir el $e$ demasiado, pero la suma ofrece un abanico de posibilidades para la estimación, en particular como los términos disminuir muy rápidamente. Pero la definición geométrica de $\pi$ exige que supone el conocimiento sobre una línea recta como la distancia más corta entre dos puntos, lo que parece obvio, sin embargo, oculta la dificultad de definir la longitud de una curva, por lo que este se ve más simple de lo que es.

Answer 2

El uso de $e<3$$\pi>3$.

El primero sigue de $e:=\lim \left(1+\frac1n\right)^n$ rápidamente, la segunda a partir de la comparación de un círculo con su hexágono inscrito.

Answer 3

$$e =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= 2+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}< 2+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n-1}}=3$$

Por la inscripción de un hexágono regular en un círculo, y observando que su perímetro es menor que el del círculo, tenemos $6r < 2 \pi r$ o $\pi > 3$.

Answer 4

Uso absolutamente convergente suma definiciones para$e$$\pi$:

$$e^x=1+\sum_{n=1}^\infty{x^n \over n!}$$

y

$${\pi^2 \over 6} = \sum_{n=1}^\infty{1 \over n^2}$$

A continuación, supongamos $e \ge \pi$, lo $e^2 \ge \pi^2$, lo que significa que

$$1+\sum_{n=1}^\infty{2^n \over n!} \ge 6\sum_{n=1}^\infty{1 \over n^2}$$

$$\iff 1+\sum_{n=1}^\infty{{2^n\over n!}-{1\over n^2}} \ge 5\sum_{n=1}^\infty{1 \over n^2}$$

Para todos $n \ge 8$, ${2^n \over n!} \lt {1\over n^2}$, por lo $\sum_{n=8}^\infty{{2^n\over n!}-{1\over n^2}} \lt 0$. Esto significa que

$$1+\sum_{n=1}^7{{2^n \over n!}-{1\over n^2}} \gt 5\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}$$

o, más sencillamente,

$$1+\sum_{n=1}^7{2^n \over n!} \gt 5\sum_{n=1}^\infty{1\over n^2}$$

$$\iff 1+2/1+4/2+8/6+16/24+32/120+64/720+128/5040 \gt 5+5/4+5/9+5/16+5/25+5/36+5/49+...$$

$$\iff 1/4+1/9+1/15+4/45+8/315 \gt 5/16+5/36+5/64+5/49+5/81+...$$

Lo cual es claramente imposible dado que emparejado LHS y RHS términos son todos de tal manera que (LHS plazo) $\lt$ (RHS plazo), y que el lado izquierdo tiene sólo los términos que se muestran. Por lo tanto, nuestra suposición inicial es falsa, lo que significa que $e\lt\pi$.

Es difícil decir qué se puede aprender de esto. Creo que la más clara la comparación sería si había un límite definido para la declaración de el valor de $\pi$, en lugar de una forma geométrica, por lo que no es "natural" equivalente geométrico para $e$. Sin embargo, esta suma de comparación, al menos, muestra la diferencia entre el$\dfrac {2^n}{n!}$$\dfrac {1}{n^2}$.

Answer 5

Aquí es una forma directa para demostrar esta desigualdad utilizando sólo la serie:

$e=3 - \displaystyle\sum _{k=0}^{\infty}\dfrac{k+1}{(k+3)!}$

que es asintótica de arriba, y

$\pi=3+2 \displaystyle\sum _{k=1}^{\infty } \frac{k (5 k+3) (2 k-1)! k!}{2^{k-1} (3 k+2)!}$

que es asintótica de los de abajo.

En un vistazo, podemos ver que $e$ es igual a 3 menos una cantidad positiva, mientras que $\pi$ es igual a 3, además de una cantidad positiva. Por lo tanto $e<3<\pi$$e<\pi$.

Una ventaja aquí es que la prueba se presta a ser considerado en un sentido dinámico; una manera intuitiva se puede apreciar que a medida que la serie converge a sus respectivos objetivos, que se alejan de la número 3 en direcciones opuestas.

Lo que es interesante acerca de la cuestión es que en matemáticas, demostrando "obvio" que las cosas a menudo requiere una inesperada cantidad de pensamiento. Siempre estoy impresionado por la maravillosa variedad de enfoques de la gente emplear en la contestación de las preguntas más simples. Esto pone de relieve fundamentalmente aspecto creativo de las matemáticas.

Referencias para $e$ serie:

http://functions.wolfram.com/Constants/E/06/01/01/ (Última entrada) http://www.brotherstechnology.com/docs/Improving_Convergence_(CMJ-2004-01).pdf http://www.brotherstechnology.com/math/e-formulas.html

Referencias para $\pi$ serie:

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Eq (29) http://www.pi314.net/eng/schrogosper.php (Estados equivalencia de anidado de expresión y de la serie) http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/6088/AIM-304.pdf?sequence=2