Cómo resolver:
%#% $ $$\sin(2x) + \sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ #% ¿Dónde está en $x$?
No tengo idea qué hacer con el $[-\pi,\pi]$.
¿AM se supone que decírnoslo, diferenciar, hay alguna teoría que voy a aplicar?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
rlpowell
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Las fórmulas de la suma de ángulos
$$\sin(2x)=2\sin x\cos x$$ y $$\begin{align} \sin(3x)&=\sin x\cos(2x)+\cos x\sin(2x)\\ &=\sin x(2\cos^2x-1)+2\cos^2x\sin x\\ &=\sin x(4\cos^2x-1) \end{align}$$
gire a la ecuación de $\sin(2x)+\sin(3x)=\sqrt3/2$ a $s(4c^2+2c-1)=\sqrt3/2$ donde $s$ $c$ abreviar $\sin x$$\cos x$. El cuadrado ambos lados y la sustitución de $s^2$ $1-c^2$ conduce a una expresión polinómica en $c$:
$$(1-c^2)(4c^2+2c-1)^2={3\over4}$$
Es fácil comprobar que $c=\pm{1\over2}$ satisface esta ecuación, correspondientes a las soluciones de $x=\pi/3$ $-2\pi/3$ indicado por Tunk-Fey en los comentarios. (Hay, por supuesto, los dos valores de $x$ $[-\pi,\pi]$ para cada valor de $c$, pero tienes que ir de nuevo a la unsquared ecuación para obtener el ángulo con el signo correcto para $s$.) La expresión polinómica en $c$, ampliado y factorizada, es
$$(2c-1)(2c+1)(16c^4+16c^3-16c^2-16c+1)=0$$
La cuártica factor tiene dos raíces reales, tanto en $[0,1]$, ninguno de los cuales es el coseno de cualquier ángulo agradable. Llego $c\approx0.0592136551698$ $c\approx0.983859187765$ para las otras raíces, con $s\approx-0.99824533209$ $s\approx0.178944401$ como los correspondientes valores de $s=\sin x$. Estos corresponden a $x\approx-0.481140676\pi$$x\approx0.0572682233\pi$.
El unpleasantry de la cuártica factor hace que me pregunte sobre el contexto del problema. Podría haber sido sólo pidiendo a encontrar una solución?
CodingBytes
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(Esto no es una respuesta completa).
Considerar la función $$f(x):=\sin(2x)+\sin(3x)-{\sqrt{3}\over2}\ .$ $ ya que podemos adivinar los ceros ${\pi\over3}$ y ${4\pi\over 3}$ tiene sentido introducen la función $$g(y):=f\left({\pi\over3}+y\right)\ .$ $ de hecho, después de un cómputo se obtiene $$g(y)=-\sin y\>\bigl(\cos y+\sqrt{3}\sin y+3\cos^2 y-\sin^2 y\bigr)\ .$ $ lamentablemente el segundo factor no puede reducirse de una manera sencilla.
