¿Conjugado números algébricos verdaderos siempre se distinguen por el signo de un derivado iterado de su polinomio mínimo?

Question

Que $P$ sea un polinomio irreducible con coeficientes racionales y grado $d$. Que $\alpha$ $\beta$ ser dos raíces reales de $P$. Entonces el % de números $a_k=P^{(k)}(\alpha)$y $b_k=P^{(k)}(\beta) \ (1\leq k\leq d-1)$ son números reales.

¿Si $a_kb_k \gt 0$ $1\leq k\leq d-1$, lo hace siempre siga que $\alpha=\beta$?

Answer 1

Sí. Esto no tiene nada que ver con números algebraicos; la siguiente afirmación es verdadera:

Deje $P(x)$ ser un verdadero polinomio. Supongamos que $P(\alpha) = P(\beta)$ con $\alpha$ $\beta$ números reales, $\alpha<\beta$. Luego hay algunos $k$ que $P^{(k)}(\alpha) P^{(k)}(\beta) < 0$.

Tenga en cuenta que $P^{(\deg P)}(x)$ es una constante distinto de cero y, en particular, no es $0$ en el intervalo de $(\alpha, \beta)$. Entonces existen enteros positivos $n$ que $P^{(n)}(x)$ es distinto de cero en $(\alpha, \beta)$. Deje $m$ ser el menos número entero positivo. Por el teorema de Rolle, $m>1$.

Desde $\frac{d}{dx} P^{(m-1)}(x)=P^{(m)}(x)$, podemos ver que $P^{(m-1)}(x)$ es monotono en $(\alpha, \beta)$. Desde $m$ fue elegido mínima, $P^{(m-1)}(x)$ tiene un cero en $(\alpha, \beta)$. (Aquí se utiliza la observación de que $m>1$, lo $m-1$ es un entero positivo.) Por lo $P^{(m-1)}(\alpha)$ $P^{(m-1)}(\beta)$ tienen signos diferentes.

Esto habría hecho un buen Putnam problema.