$su(1,1) \cong su(2)$ ?

Question

Los tres generadores de $su(2)$ satisfacen las relaciones de conmutación

$$ [J_0 , J_\pm] = J_\pm , \quad [J_+, J_- ] = +2J_0 .$$

Los tres generadores de $su(1,1)$ satisfacen las relaciones de conmutación

$$ [K_0 , K_\pm] = K_\pm , \quad [K_+, K_- ] = -2K_0 .$$

Ahora, definamos

$$ K_0 = J_0, \; K_+ = J_+,\; K_- = - J_-. $$

Es evidente que así definido $K$ satisfacen el $su(1,1)$ ¡álgebra! ¿Significa esto que $su(1,1)$ es en realidad equivalente a $su(2)$ ?

¿En qué se equivoca el argumento?

Answer 1

El operadores de escalera pertenecen al verdadero Álgebras de Lie $^1$ $$\begin{align} su(1,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}\sigma_3=-\sigma_3m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, \sigma_2, i\sigma_3 \}\cr ~\cong~sl(2,\mathbb{R}) ~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_1, i\sigma_2, \sigma_3 \}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ \sigma_+, \sigma_-, \sigma_3 \}\cr ~\cong~ so(2,1)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}\eta =- \eta m\}, \end{align}$$ $$ \sigma_{\pm}~:=~\frac{\sigma_1\pm i \sigma_2}{2}, \qquad \eta~=~{\rm diag}(1,1,-1), $$ pero lo hacen no pertenecen a las álgebras de Lie reales $$\begin{align} su(2)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid m^{\dagger}=-m,~ {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{R}}\{ i\sigma_1, i\sigma_2, i\sigma_3 \} \cr ~\cong~ so(3)~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid m^{t}=-m\}. \end{align}$$ Todas las 5 álgebras de Lie reales anteriores tienen complejidades isomorfo a $$\begin{align}sl(2,\mathbb{C})~:=~&\{m\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(m)=0\}\cr ~=~&{\rm span}_{\mathbb{C}}\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \}.\end{align}$$

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$^1$ Aquí seguimos la definición matemática de un álgebra de Lie real. Tenga en cuenta que en gran parte de la literatura física, la definición de un álgebra de Lie real se multiplica con un factor extra convencional de la unidad imaginaria $i$ Véase la nota 1 de mi respuesta en Phys.SE aquí .

Answer 2

Es posible que identifique los generadores de la forma en que lo hizo. Sin embargo, las álgebras de Lie y los grupos de Lie son diferentes porque -como dijo rápidamente Qmechanic- debes utilizar condiciones de realidad diferentes para los coeficientes.

Una matriz general en el $SU(2)$ se escribe como $$ M = \exp[ i( \alpha J_+ + \bar\alpha J_- + \gamma J_0 )] $$ donde $\alpha\in {\mathbb C}$ y $\gamma\in {\mathbb R}$ mientras que la matriz general en $SU(1,1)$ viene dada por $$ M' = \exp [ i( \alpha_+ J_+ + \alpha_- J_- + \beta J_0 ] $$ donde $\alpha_+,\alpha_-,\beta\in {\mathbb R}$ son tres números reales diferentes.

En resumen, para $SU(2)$ los coeficientes delante de $J_\pm$ son números complejos conjugados entre sí, mientras que para $SU(1,1)$ son dos números reales independientes. (Y me disculpo porque no estoy seguro de si el $i$ debe omitirse en el exponente de $SU(1,1)$ sólo según su convención. Probablemente).

Si se permiten los tres coeficientes delante de $J_\pm,J_0$ para que sean tres números complejos independientes, se obtendrá la complejización del grupo. Y como también escribió Qmechanic, la complejización de ambos $SU(2)$ y $SU(1,1)$ es efectivamente el mismo, es decir $SL(2,{\mathbb C})$ .