Cómo uno muestra que $S_1=S_2$ y tiene la forma cerrada de $1?$

Question

Considerar estos suma

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\gamma^k\left(n-\Gamma\left({k\over n}\right)\right)^{-k}=S_1$ $ y $ de $$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}(-\gamma)^{1+k}\left(n-\Gamma\left({k\over n}\right)\right)^{-k}=S_2$ $\gamma$ Dónde está Constante de Euler-Mascheroni

Cómo uno muestra que $S_1=S_2$ y tiene la forma cerrada de $\color{red}1?$

Answer 1

Puesto que la función de $\Gamma$ tiene un polo simple en $z=0$, el comportamiento del $n-\Gamma\left(\frac{k}{n}\right)$ $k\in[1,n]$ es bastante sencillo de comprender. Tenemos %#% $ #% mientras que para $$ n-\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)=\gamma-\frac{1}{2n}\left(\zeta(2)+\gamma^2\right)+O\left(\frac{1}{n^2}\right) $ tenemos $k\geq 2$ $ uniformemente con respecto a los $$ \left(n-\Gamma\left(\frac{k}{n}\right)\right)^{-k} =O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Se sigue que

$k$$

desde el contribute sólo lo que realmente importa es contribuir por $$ S_1 = \color{red}{1},\qquad S_2 = \color{red}{\gamma} $.