¿Ondas gravitacionales en la galga de Lorenz?

Question

El lineal ecuaciones de campo de Einstein en el Lorenz medidor (con $g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$$\bar h_{\mu \nu}=h_{\mu \nu}-\frac{\eta_{\mu \nu}}{2}h$) están dados por: $$ \Box \bar h_{\mu \nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu \nu}$$ Esto tiene la solución general: $$\bar h_{\mu \nu}=\frac{4\pi G}{c^4}\int \frac{T_{\mu \nu}(\vec{r}_s,t-R/c)}{R} d^3\vec r_s+\phi_{\mu \nu}$$ Donde $R=|\vec r-\vec r_s|$ $\phi_{\mu \nu}$ es cualquier tensor que satisface $\Box \phi_{\mu \nu}=0$. Supongo que cualquier elección arbitraria de $\phi_{\mu \nu}$ no va a conducir a una solución de $\bar h_{\mu \nu}$ que es en el de Lorenz calibre, e incluso puede cambiar la curvatura. Mi pregunta por tanto es: una situación en la que no hay otras fuentes que están presentes (o alguna vez lo han sido) ¿cómo ir sobre la elección de la $\phi_{\mu \nu}$ ejemplo de que todavía estamos en la muestra de tejido correcta. He visto que la gente tome $\phi_{\mu \nu}=0$ es esta permitido siempre?

Editar

Después de algunas investigaciones que estoy seguro de que se nos permite agregar, simplemente, en $\phi_{\mu \nu}$ ya que este iba a cambiar nuestras condiciones de contorno y de nuestras condiciones de contorno ya han sido predeterminadas por nuestro uso de la función de Green. Si este el caso, entonces parece que se nos han perdido el calibre de la libertad en nuestra solución. I. e. $$\bar h_{\mu \nu}=\frac{4\pi G}{c^4}\int \frac{T_{\mu \nu}(\vec{r}_s,t-R/c)}{R} d^3\vec r_s$$ sólo es válida para un específico indicador (desde que tengo enchufe en un $T_{\mu \nu}$ y obtener una única $\bar h_{\mu \nu}$). Sin embargo, yo he visto a gente usar esta fórmula para derivar la quadrapole fórmula en la $TT$calibre. Mi edición es correcto, ¿dónde está el medidor de la libertad en esta expresión que nos permite producir una solución en la $TT$calibre?

Answer 1

La teoría linealizada es invariante a los cambios de calibre $$\bar{h}_{\mu\nu} \to \bar{h}_{\mu\nu} + 2 \xi_{(\mu,\nu)} - \xi^\alpha_{\;,\alpha} \eta_{\mu\nu}.$$ Trabajando en el Lorenz medidor de $\bar{h}_{\mu\nu}^{\;\;\;,\nu} =0$ todavía tenemos un residual calibre de la libertad en la forma de $\xi^\mathrm{R}_\nu$ que satisfacen la condición $$(2 \xi^\mathrm{R}_{(\nu,\mu)}- \xi^{\mathrm{R}\alpha}_{\;\;\;,\alpha} \eta_{\mu\nu})^{,\nu}=0$$ lo que conduce a la simple condición de $$\Box \xi^\mathrm{R}_\nu = 0.$$ Usted puede ver que esto también implica $$\Box (2 \xi^\mathrm{R}_{(\nu,\mu)}- \xi^{\mathrm{R}\alpha}_{\;\;\;,\alpha} \eta_{\mu\nu}) = 0$$ y tu residual calibre de la libertad en los potenciales retardados fórmula es exactamente $\phi_{\mu\nu} = 2 \xi^\mathrm{R}_{(\nu,\mu)}- \xi^{\mathrm{R}\alpha}_{\;\;\;,\alpha} \eta_{\mu\nu}$.

La razón por la que algunas personas escribir los potenciales retardados fórmula con $\phi_{\mu \nu} = 0$ es probablemente debido a que asumen que el lector entiende que sólo es válido hasta el residual calibre de la libertad. En los puntos posteriores, este indicador es cambiado a desplazar a la TT medidor (es decir, $\phi_{\mu \nu}$ se convierte en un valor distinto de cero).

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En cuanto a la cuestión de las condiciones de contorno, en efecto, podemos arreglar $\phi_{\mu\nu} = 0$, asumiendo que el contenido de materia es aislado y finito, y exigiendo $\bar{h}_{\mu \nu} \to 0$ al infinito y $\Box \xi_\nu = 0$ todas partes. Esto es debido a que $\xi_\nu$ puede entonces ser sólo superposiciones de ondas planas.

Lo curioso, sin embargo, es que en el uso de TT medidor para derivar el cuadrupolo fórmula también tenemos $\bar{h}_{\mu \nu} \to 0$ en el infinito, pero este indicador es diferente de la "Verde-función indicador" $\phi_{\mu\nu} = 0$. Podemos hacer eso, porque en ese caso estamos utilizando un indicador de la transformación que ha $\Box \xi^\mathrm{R}_\nu \neq 0$ en el origen de coordenadas. I. e., $\bar{h}_{\mu \nu}^{\;\;\;,\nu} = 0$ en el TT de la galga es válida sólo de distancia desde el origen, y ello se logra por $\xi^\mathrm{R}_\mu$ ser igual a algo así como la electromagnética cuadrupolares campo de radiación.

El único caso en el que el TT medidor puede ser aplicado de forma global en todo el espacio-tiempo, junto con la condición de Lorentz es el caso de un plano de ondas gravitacionales. En otros casos, tales como el campo gravitacional de una materia aislada de la fuente, usted siempre tendrá que dejar fuera coordinar los parches a aplicar para evaluar elección.

Answer 2

La referencia clásica para el multipolo formalismo es Thorne (1980); echar un vistazo a través de la sección V, en particular, (página 21). Este enlace también podría ayudar.

El punto es que el TT-la porción de la métrica es el campo de radiación de parte de la perturbación. El $\textit{total}$ perturbación $\boldsymbol{\bar{h}}$ puede tener partes de ella que no radiativa, dependiendo de la fuente, que no le importa si usted está haciendo GW análisis. Usted podría hacer este análisis para un tiempo independiente de la fuente, por ejemplo, y la linearised métrica perturbación será distinto de cero desde $\boldsymbol{T}\neq0$, pero no tendrá ningún tipo de radiación; $d E_{\text{GW}}/ dt = 0$. Esto es más importante cuando se quiere pensar en el post-Newtoniano o no-lineal de los campos de radiación.

El Lorenz calibre no es nada más que una elección de lujo coordenadas -- no se pierde información, mediante el uso de ella. Sólo simplifica el álgebra. La expresión que usted ha escrito, de hecho, se basa en estas coordenadas (y sus condiciones de contorno, que son de Dirichlet para este particular de la función de Green que ha escrito). Otros términos podría entrar en un sistema de coordenadas diferente, pero el contenido es el mismo.

Esperemos que esto responde (al menos algunas) su pregunta.