¿Existe una única función polinómica $f(x)$ de grado $\lt n$ tal que $f(n) = a_n$ $\{a_n\}$ ¿Dónde está una secuencia?

Question

Es cierto que para cada secuencia $a$ $n$ números no es exactamente una función polinómica $f(x)$ grado $\leq n$ de manera tal que todos los $f(1)=a_1,f(2)=a_2,\dots f(n)=a_{n}$? Si es así, hay un algoritmo que, dada la secuencia, generar los coeficientes de esta función?

Intuitivamente, me siento como que esto es cierto, porque:

• Dado $a$$b$, usted puede encontrar una función polinómica $f$ que tiene el grado $1$ tal que $f(0)=a$$f(1)=b$.
• Por inducción: teniendo en cuenta los coeficientes de $a_1,a_2\dots a_n$, usted puede encontrar una función polinómica de grado $n$ tal que $f(x)$ se obtiene un valor constante para todos los $x$$\{1,2\dots n-1\}$.

En su mayoría, la razón por la que quiere ser capaz de encontrar una función de este tipo, así que cuando mi maestra de matemáticas dice que "encontrar la regla de función" y nos presenta obviamente una función lineal me puede dar alguna extraña polinomio que sólo pasa a dar las respuestas correctas para esos valores.

Answer 1

Un polinomio de grado $\leq n$ modelado $a_1,a_2, \cdots a_n$ no sería el único. Considere la posibilidad de $f(1)=1$, $f(2)=4$. Obviamente $f(x)=3(x-1)+1$ obras, pero podemos hacerles $f(x)=x^2$.

Un polinomio de grado más bajo que los modelos de $\{a_1,a_2,a_3,...a_n\}$ es único. Tal polinomio es un subconjunto de los polinomios que se refiere como los polinomios de Lagrange. Una "forma cerrada" es posible:

$$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1} {x-1 \choose i} \Delta^i(1)$$

Aquí $\Delta^0(1)=f(1)$. También se $\Delta$ se define como la operación de asignación de $f(x)$$f(x+1)-f(x)$. Esta operación se llama el avance de la diferencia.A continuación, $\Delta^i(1)$ es la operación iterada $i$ tiempos evaluados en $1$.

Ejemplo: Encontrar el polinomio de Lagrange para $1,3,5$.

$$\color{red}{1},3,5$$

Llevar adelante las diferencias una vez que se presenta.

$$\color{red}{2},2$$

Dos veces,

$$\color{red}{0},$$

Esto le da un polinomio de Lagrange,

$$f(x)=\color{red}{1}{x-1 \choose 0}+\color{red}{2}{x-1 \choose 1}+\color{red}{0}{x-1 \choose 2}$$

$$=2x-1$$

Usando esta fórmula, puede troll de su maestro. Por ejemplo, si el profesor pide a encontrar la regla para $1,3,5,$, entonces usted puede utilizar la fórmula para encontrar una regla para una secuencia que va de la $1,3,5,\pi$.

$$1,3,5,\pi$$

$$2,2,\pi-5$$

$$0,\pi-7$$

$$\pi-7$$

Esto le da,

$$f(x)=1+2{x-1 \choose 1}+0+(\pi-7){x-1 \choose 3}$$

$$=1+2(x-1)+(\pi-7)\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3!}$$

Answer 2

Sobre currican tu profesor de matemáticas, si tienes una función lineal $f$ tal que $f(1)=a_1,f(2)=a_2,\cdots, f(n)=a_n$ puede crear una función polinómica de grado mayor con la misma propiedad mediante la adición de $g(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$ $f(x)$. Entonces $f(i)+g(i)=a_i+0=a_i$.

Answer 3

Arrastre aquí es mucho más fácil que usted está haciendo ser. Si todo lo que están dado es un conjunto finito de puntos y tu maestro pide simplemente una función , no necesariamente polinómica --que quepa, que sólo puede definir $f(x_i)=y_i$ $(x_i,y_i)$ en tu lista y $f(x)=0$ lo contrario.

Answer 4

Se puede definir una función polinómica

$h(x)=f(x)-a_x$ su % de secuencia dada $a_x$

ahora si tienes $n$ términos de la secuencia,

$h(x)$ será un $n$ th polinomio de grado con raíces iguales a $i$ $i=1$ $n$

$h(x)=(x-1)(x-2)\dots (x-n)=f(x)-a_x$ o

$f(x)=(x-1)(x-2)\dots (x-n)+a_x$

como su secuencia $a_x$ es un polinomio puede encontrar los coeficientes de esta manera.