Considerar el núcleo del homomorfismo h de dos copias del grupo libre $F_2 \times F_2$ en los enteros cada generador está enviando a 1. ¿Cómo ver que este subgrupo finito no se presenta?
Respuesta
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Onorio Catenacci
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Esto es en realidad un ejemplo de un finitely generados pero no finitely presentado el grupo. Me parece recordar que hay un homológica de la prueba. He estado tratando de pensar en una razonablemente sencillo de grupo-teórica de la prueba, pero estoy corriendo fuera de tiempo.
Lo que he hecho es calcular un (infinito) presentación del kernel $K$ en cuestión. Deje que las dos copias de $F_2$ ser generados por $\{a,b\}$$\{x,y\}$. A continuación, $K$ es generado por $B := ba^{-1}$, $X := xa^{-1}$ y $Y := ya^{-1}$. El uso de un razonablemente sencillo Reidemeister-Schreier cálculo, obtenemos la presentación
$\langle\, X, Y, B \mid [B,(YX^{-1})^{X^i}]\: (i \in \mathbb{Z})\, \rangle$
de $K$, que es una HNN-extensión de la libre grupo de $\langle X,Y \rangle$ estable con letra $B$, donde el subgrupo generado por a$(YX^{-1})^{X^i}$$i \in \mathbb{Z}$, que no es finitely generado, es centralizada por $B$.
Editado: Para demostrar que $K$ no es finitely presentable, es suficiente para demostrar que cualquier grupo de $K'$ definido por una presentación utilizando un subconjunto finito de los ponentes en la presentación anterior es desigual a $K$. Observe que $K'$ es también un HNN-extensión de la $\langle X,Y \rangle$$B$, pero el subgrupo de $\langle X,Y \rangle$ centralizada por $B$ es finitely generado, y así que es un buen subgrupo del subgrupo centralizada por $B$$K$. Por lo $K \ne K'$ y, por tanto, $K$ no es finitely presentable.
