¿Sabemos que $$a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi).$$ What are the complete factorizations of $ a ^ 3 + b ^ 3 $, $ a ^ 4 + b^4$, $\ldots$ , $a^k + b ^ k$, etcetera.? ¿Qué tipo de coeficientes demuestran para arriba?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
florence
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Siempre puede escribir $a^n+b^n = a^n - c^n$ donde $c = \xi_n b$, donde $\xi_n = e^{\pi i/n}$ (para que $\xi_n^n = -1$). Entonces fijación $a$ $a^n - c^n$, las raíces es soluciones al $a^n = c^n$ y soluciones de $n$ $c$; es decir, los números en forma de $\zeta_n^k a$ donde $0\leq k\leq n-1$ y $\zeta = e^{2\pi i/n}$ que $\zeta_n^n = 1$. Así el polinomio original factores totalmente $\Bbb{C}$ $$(c - a)(c - \zeta_na)(c - \zeta_n^2a)...(c - \zeta_n^{n-1}a)$ $
Tal $\zeta_n$ se llama una raíz de #% de #% % de la unidad. Siempre hay $n^{th}$ $n$ las raíces de la unidad, es decir, los distintos poderes de $n^{th}$.
Mark Fischler
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El problema se simplifica si se divide a través de $a$ y prestado $\frac{b}{a} = x$. Una vez que los factores de la $1+x^n$ es fácil volver a introducir $a$ y $b$.
El patrón de estos es fácil de ver. Extraño $n$,
$$a^3 + b^3 = (a+b) (a+b\mbox{ cis } (\frac{2\pi}{3})) (a+b\mbox{ cis }(\frac{4\pi}{3})) $$
$$a^5 + b^5 = (a+b) (a+b\mbox{ cis } (\frac{2\pi}{5})) (a+b\mbox{ cis }(\frac{4\pi}{5})) (a+b\mbox{ cis } (\frac{6\pi}{5})) (a+b\mbox{ cis }(\frac{8\pi}{5}))$$
y así sucesivamente. Incluso $n$, $$a^4 + b^4 = (a+b\mbox{ cis } (\frac{1\pi}{4})) (a+b\mbox{ cis } (\frac{3\pi}{4})) (a+b\mbox{ cis } (\frac{5\pi}{4})) (a+b\mbox{ cis } (\frac{7\pi}{4}))$ $
y así sucesivamente.
De hecho puede expresar la factorización completa en términos de fácil deglución radicales $n=2,3,4,5,6,8$. También para $n=17$ por ejemplo; ver números primos de Fermat.
