Abelian elementales $p$-subgrupos de $GL_n(\mathbb{F}_p)$

Question

Deje $p$ ser un número primo. Si $G$ es un grupo finito, primaria abelian $p$-subgrupo de $G$ de la fila $r$ es cualquier grupo de $E\subset G$ tal que $E\cong (\mathbb{Z}/p)^{\oplus r}.$

Deje $\mathcal{E}_r$ ser la colección de todas las escuelas primarias abelian $p$-subgrupos de clasificación $r$ de lo finito grupo $G=GL_n(\mathbb{F}_p).$ Se sabe algo de $\mathcal{E}_r$? Yo sería feliz con una referencia, o una respuesta a cualquiera de las siguientes preguntas:

• ¿Qué es $|\mathcal{E}_r|$?
• Cómo es $\mathcal{E}_r$ se repartió en órbitas bajo la conjugación de la acción de $G$?
• Cómo muchos de los elementos de $\mathcal{E}_r$ se encuentran en un fijo de Sylow $p$-subgrupo de $G$?

Answer 1

Cada elemento de a $GL_n(F)$ de orden una potencia de $p=\operatorname{char} F$ es unipotentes, es decir, su characterisitc polinomio es $(X-1)^n$. Por lo tanto, es conjugado en el $GL_n(F)$ a un triangular superior de la matriz con entradas de $1$ en la diagonal principal, y las clases conjugacy de tales elementos se caracterizan por su común Jordania tipo, una partición de $n$. La real orden de un elemento es el que menos energía de $p$ que es nada menos que el tamaño de la más grande de Jordania bloque, por lo que para tener un orden $p$ todos los bloques de Jordan debe ser de tamaño en la mayoría de las$~p$. (En particular si $n\leq p$, entonces el conjunto de todos los unitpotent triangular superior matrices, que siempre es un Sylow $p$ subgrupo, que contiene la no-identidad de los elementos de orden $p$ solamente.)

Esto era para elementos individuales, pero para dos $p$-elementos para el viaje, que debe ser al mismo tiempo trigonalisable; por lo tanto, cada escuela primaria $p$-subgrupo es conjugado a una escuela primaria $p$-subgrupo de la parte superior triangular de matrices (como alternativa el uso que cada $p$-subgrupo está contenida en un Sylow $p$-subgrupo). Esto todavía respuestas ninguno de sus preguntas, pero debería ayudar a poner en marcha.

Answer 2

Este es otro de no-respuesta para grabar algunos conceptos básicos y tratar de averiguar lo que una respuesta general $n$ podría parecer. No me molesta, incluyendo las correcciones para p=2, ya que son numerosos y especial. Al final, he de mencionar una manera en la que estos conjuntos están siendo estudiados (el Quillen complejo) que creo que utiliza duro matemáticas para responder a preguntas más fáciles que las que se le preguntó.

n=2

$$\left|\mathcal{E}_r\right| = \begin{cases} 1 & r = 0 \\ (p+1) & r = 1 \\ 0 & r \geq 2 \end{casos}, \qquad \left|\mathcal{E}_r \cap P\right| = \begin{cases} 1 & r \\ 1 & r = 1 \\ 0 & r \geq 2 \end{casos}$$

Si $n=2$, entonces el Sylow $p$-subgrupos son de orden $p$ y se cruzan trivialmente. Del teorema de Sylow garantías individuales de las órbitas para los rangos de 0 y 1, y no los grupos de grado 2 o superior.

n=3

$$(p \neq 2) \quad \left|\mathcal{E}_r\right| = \begin{cases} 1 & r = 0 \\ \left[(p^2+p+1)(p+1)\right] + \left[(p^3-1)(p+1)p\right] & r = 1 \\ \left[(p^2+p+1)\right] + \left[(p^2+p+1)\right] + \left[ (p^3-1)(p+1) \right] & r = 2 \\ 0 & r \geq 3 \end{casos}$$ $$(p \neq 2) \quad \left|\mathcal{E}_r \cap P\right| = \begin{cases} 1 & r = 0 \\ [1] + (p+1)[p] & r = 1 \\ [1] + [1] + (p-1)[1] & r = 2 \\ 0 & r \geq 3 \end{casos}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\!$$

Si $n=3$, luego de un Sylow $p$-subgrupo de orden $p^3$ pero no es Abelian, de manera que la mayor rango de primaria abelian subgrupo es de 2. Los subgrupos de clasificación 1 se dividen en dos clases, los contenidos en el centro de un Sylow $p$-subgrupo, y los que no lo son. Los subgrupos de rango 2 se dividen en tres clases conjugacy, dos de ellos conjugado en $\operatorname{Aut}(GL(3,p))$. El más "raíz" subgrupos que son normales en un Borel subgrupo son los dos Aut-conjugado de clases, y una más mixto subgrupo de los formularios de la otra clase (en Aut(Sylow) todos estos son conjugado, pero en el Borel subgrupo se distinguen). Cuando se mira en los subgrupos de un particular Sylow es claro para mí, donde conjugacy deben ser consideradas (en P, B, G, en Aut(G)). Los números entre paréntesis son P-clases, y un coeficiente de un paréntesis de la expresión describe cómo muchos P-clases de fusibles bajo GL.

Comentarios

La colección de la $\mathcal{E}_r$ forma gradual poset llamado el Quillen complejo que debe contener suficiente información para reconstruir todo de una vez GL $n$ es lo suficientemente grande ($n=4$ o así). La geometría y cohomology de tales posets es de interés actual, a lo finito grupo de teóricos y combinatorialists. Sospecho que una cantidad justa que se conoce en el caso de general lineal de los grupos, pero me preocupo mucho de que no puede responder a preguntas sencillas como "¿cuántas cosas estamos hablando?"

No he mirado mucho en GL(4,p), pero creo que esto es aproximadamente donde las cosas empiezan a trabajar "correctamente", como en, $\mathcal{E}_n$ es no vacío, y $\mathcal{E}_n \cap P$ tiene un único elemento en el que GL actúa como GL, o algo similar.

Quillen del 1978 papel ha inspirado un buen montón de trabajo (ver los artículos enlazados desde su examen de matemáticas) y el documento en sí demuestra una serie de buenos resultados: en general, el poset de primaria abelian grupos de rango, al menos, 2 es homotopy equivalente (respetando la conjugación) para el poset de todos los no-trivial de p-grupos. En el caso de que el grupo lineal general, es homotopy equivalente a la norma Grassmanian (o bandera) complejo. Usted puede ver cómo a preguntas sencillas acerca de "¿cuántos hay?", son sustituidos por otros más complicadas ideas como "si se quería contar las cosas, teniendo en cuenta la inclusión y la exclusión, lo que es el resto de la (ponderado) de contar mod p?" (este es de color Marrón del trabajo que se alude en Quillen del papel).

Si usted está interesado en este tipo de cosas, en el capítulo 4 de estos en línea notas de Casolo (2000) son bastante razonables. El libro de los Subgrupos Complejos, Smith, 2011 es bastante buena.

• Quillen, Daniel. "Homotopy propiedades de la poset de no trivial de p-subgrupos de un grupo." Adv. en Matemáticas. 28 (1978), no. 2, 101-128. MR493916 DOI:10.1016/0001-8708(78)90058-0