¿Es continua $f$ constante si todos los puntos de $\mathbb{R}$ están un mínimo local de $f$?

Question

Supongo que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua. ¿Es $f$ constante si todos los puntos de $\mathbb{R}$ están un mínimo local de $f$?

¿Qué espacios métricos podemos utilizar en lugar de $\mathbb{R}$? Creo que tenemos el mismo resultado $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$.

Answer 1

Esto es para $f:X\to\mathbb R$ si $X$ es un espacio conectado. Cada $x\in X$, $f^{-1}([f(x),\infty))$ está cerrada por continuidad y abrir por la condición de mínimos locales. Este conjunto es no vacío ya que contiene $x$, por lo tanto, es igual a $X$ por conexión. Así para todas las $y\in X$, $f(y)\geq f(x)$. Porque $x$ y $y$ arbitrarios, esto implica que el $f$ es constante.

Vea también función continua con máximos locales en todas partes pero no máximos globales.