Problema de integración de Riemann

Question

Que $f$ sea una función continua en $[0,1]$ satisfacción $$\int_0^1f(x)\,dx = 0$ $

y $$\int_0^1xf(x)\,dx = 0.$$ Show that there exists $ $,$b $ in $ [0,1] $ with $a < $ b, tales que $f(a) = 0 =f(b)$. Existencia de un punto es claro para mí pero no puedo demostrar la existencia de la otra.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Si hubiera sólo una raíz $a$, a menos que $f$ es idénticamente cero $f$ tendría que cambiar signos $a$ en orden para $\displaystyle\int^1_0 f(x) dx=0$ hacer. Por lo tanto $(x-a)f(x)$ no cambia de signo y no es idénticamente cero, así $\displaystyle\int^1_0 (x-a) f(x) \neq 0,$ contradiciendo la hipótesis.