¿Cuál es el nombre de un campo del vector libre de divergencia y enrollamiento-libre?

Question

Considere la posibilidad de un campo vectorial suave $\mathbf u\colon\Omega\to\mathbb R^3$ definido en un dominio abierto $\Omega\subseteq\mathbb R^3$ tal que $\mathbf u$ ha divergencia cero y cero rizo en $\Omega$, es decir, $$\begin{align}\nabla\cdot\mathbf u&=0,\\\nabla\times\mathbf u&=0.\end{align}$$ Hay una técnica específica nombre para un campo vectorial?

De Wikipedia, la llama una Laplaciano vectorial del campo, pero

1. no se citan referencias, y
2. se afirma que cualquier campo vectorial es el gradiente de una función armónica, pero esto sólo es cierto si $\Omega$ es simplemente conectado (contraejemplo: $\big(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2},0\big)$ en la región de $x^2+y^2>0$),

así que estoy poco dispuesto a confiar en él. ¿Alguien puede proporcionar referencias de apoyo de este o cualquier otro nombre?

Answer 1

En geometría cálculo de la literatura (ver, por ejemplo, Doran y Lasenby), se llama a una función monogénicas. Monogénicas funciones son generalizaciones de los complejos (analítico o holomorphic) funciones. Esta condición es bastante más que ser armónica--todos monogénicas son funciones armónicas, pero no todas las funciones armónicas son monogénicas.

El término monogénicas no se limita a campos vectoriales, así como, un campo escalar con gradiente cero también se conoce como monogénicas.

También puede consultar esta página por Gaviota, Lasenby, y Doran.

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Edit: se Formulan en el lenguaje geométrico de cálculo, definimos el vector derivado de un campo de vectores $u$$\nabla u$, dado por

$$\nabla u = \nabla \cdot u + \nabla \wedge u$$

Al$\nabla u = 0$, $\nabla^2 u = \nabla \wedge (\nabla \cdot u) + \nabla \cdot (\nabla \wedge u) = 0$ como bueno, el cumplimiento de la armónica de la condición.

Answer 2

Poner musical isomorfismo de lado, yo creo que lo Rahul Narain se refiere es sólo armónico $1$-forma.

En la descomposición de Hodge para $k$formas de $\omega$: $$ \omega =\mathrm{d}\alpha +\delta \beta + \gamma $$ donde $\gamma$ es armónico en que $(\mathrm{d}\delta + \delta\mathrm{d})\omega = 0$, e $\delta = (-1)^{nk+n+1} \star^{n-k+1}\mathrm{d}^{n-k}\star^k$.

En las 3 dimensiones de la caja. Tenemos la cochain complejo: $$ \Lambda^0\ \stackrel{\mathrm{d}^0}{\longrightarrow}\ \Lambda^1 \ \stackrel{\mathrm{d}^1}{\longrightarrow}\ \Lambda^2\ \stackrel{\mathrm{d}^2}{\longrightarrow}\ \Lambda^3. $$ Definir $\delta = \mathrm{d}^*_{k}: \Lambda^*_k\to\Lambda^*_{k-1}$ como el adjunto de a $\mathrm{d}^{k-1}: \Lambda^{k-1}\to\Lambda^{k}$ con respecto al producto interior. Podemos tener un poco de un doble complejo: $$ \Lambda^*_3\ \stackrel{\mathrm{d}^*_3}{\longrightarrow}\ \Lambda^*_2 \ \stackrel{\mathrm{d}^*_2}{\longrightarrow}\ \Lambda^*_1\ \stackrel{\mathrm{d}^*_1}{\longrightarrow}\ \Lambda^*_0. $$ Para un armónico 1 formulario a -$\gamma$: $$ (\mathrm{d}\delta + \delta\mathrm{d}) \gamma = (\mathrm{d}^0\mathrm{d}^*_1 + \mathrm{d}^*_2 \mathrm{d}^1)\gamma = 0. \etiqueta{1} $$ Nota: $$\mathrm{d}^1 = \nabla \times, \quad\mathrm{d}^*_1 = (-1)\star^{0}\mathrm{d}^{2}\star^1 = -\nabla \cdot$$ (1) es: $$ \nabla \times (\nabla \times \gamma) - \nabla (\nabla \cdot \gamma) = 0.\la etiqueta{2} $$ Se puede decir que un curl libre y una divergencia-free vector campo armónico bajo musicales isomorfismo para $$ \nabla \times \gamma = 0\;\text{ y } \nabla \cdot \gamma = 0\Longrightarrow\nabla \times (\nabla \times \gamma) - \nabla (\nabla \cdot \gamma) = 0 . $$

Estoy adivinando la página de la wikipedia fue el uso de "Laplaciano vectorial de los campos" en los que (2)'s lado izquierdo es en realidad el vector operador de Laplace (o de Laplace-Beltrami) que actúa sobre un campo de vectores.

Para referencias, utilizamos este término mucho en geometría computacional, un campo que hereda una gran cantidad de conceptos de cálculo vectorial, es casi como una tradición que decir que un campo vectorial es armónico significa que es curl-libre y la divergencia libre w/o citando el libro de nadie.

Answer 3

No hay ningún nombre "canónico" de esas funciones pero E.M.Stein les llama sistemas de Riesz en todos sus libros. V.P.Havin tenía un bonito nombre para ellos (que también): "campo del vector armónico". La razón es que para cualquier campo del vector con cero enrollamiento y divergencia (en cualquier dominio conectado) las funciones de componentes resultan para ser armónico. Esto es cierto para cualquier dimensión, no solo 3, con adecuada generalizaciones de las nociones de enrollamiento y de divergencia, por supuesto.