El orden de li(x)

Question

Así que he estado investigando $\mathrm{li}(x)$ que es la función integral logarítmica.

No estoy seguro de que esto sea cierto, pero parece que $\mathrm{li}(x) = O\left(\frac{x}{\log x}\right)$ para $x$ suficientemente grande.

En concreto, parece que para $x$ suficientemente grande, existe un $M>0$ , de tal manera que

$$|\mathrm{li}(x)|< M\left|\left(\frac x{\log x}\right)\right|.$$

Wolfram Alpha parece estar de acuerdo conmigo aunque no puedo estar seguro de que esto sea válido para todos $x$ .

Me gustaría probar este comportamiento por mí mismo, y por eso preferiría tener pistas sobre cómo podría probar que $\mathrm{li}(x) = O\left(\frac{x}{\log x}\right)$ en lugar de las propias pruebas como respuestas.

Answer 1

Le sugiero que intente encontrar

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{li}(x)}{\frac{x}{\log x}}$$

utilizando la regla de L'Hospital.

Answer 2

También puede utilizar la definición "europea". $$\textrm{Li}\left(x\right)=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log\left(t\right)}=\textrm{li}\left(x\right)-\textrm{li}\left(2\right)$$ e integrando por partes tenemos $$\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log\left(t\right)}=\left.\frac{t}{\log\left(t\right)}\right|_{2}^{x}+\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log^{2}\left(t\right)}=$$ $$=\frac{x}{\log\left(x\right)}-\frac{2}{\log\left(2\right)}+\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log^{2}\left(t\right)}$$ y observe que $$\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log^{2}\left(t\right)}\leq\frac{1}{\log\left(2\right)}\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log\left(t\right)}.$$

Answer 3

X p + x p2 + x p3 + --- 1 donde [t] denota el mayor número entero menor o igual que t. Se deduce inmediatamente que ¡x! = px p[x/p]+[x/p2]+--- y log(x!) = px x p + x p2 + x p3 + ---
log(p). Ahora log(x!) es asintótico a x log(x) por la fórmula asintótica de Stirling, y, como los cuadrados, cubos, ... de los primos son comparativamente raros, y [x/p] es casi igual a x/p, uno puede fácilmente que x px log(p) p = x log(x) + O(x) de lo que se puede deducir que (x) es de orden x log(x) . T