Decaimiento de las funciones de $H^1(\mathbb{R}^n)$

Question

Es cierto (hay un teorema comúnmente conocido) que dice:

¿$f \in H^1(\mathbb R ^n)$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0$ pointwise (donde $H^1$ denota el espacio de Sobolev $W^{1,2}$)?

Esto se puede deducir de las incrustaciones de Sobolev para dimensión lo suficientemente pequeña, pero es en general verdad?

Answer 1

Yo no lo creo. Se puede imaginar una secuencia infinita de las pirámides de altura 1, cada vez con más hypersquare bases de área $A_m$, que será claramente en $L^2$, mientras $\sum |A_m| < \infty$. La pregunta es si no hay espacio suficiente para que el gradiente de permanecer cuadrado integrable. El gradiente es como la altura sobre la distancia, que es como $|A_m|^{-\frac{1}{n}}$ donde $n$ es la dimensión espacial, por lo que la exigencia es para $\sum |A_m|^{-\frac{2}{n} + 1} < \infty$. Al $n = 1$ o $n=2$ esto es claramente imposible. Para dimensiones superiores, es factible.

Answer 2

Esto es cierto para $n = 1$, pero falso para $n \ge 2$. Recordar, que para $n \ge 2$, no es una función positiva $h \in H^1(\mathbb R^n) \setminus L^\infty(\mathbb R^n)$. Ahora, tomar una secuencia $\{x_i\}$ $|x_i| \to \infty$ y definir $$ f(x) = \sum_{i=1}^\infty 2^{-i} \, h(x - x_i). $$ Entonces usted tiene $f(x_i) = +\infty$ todos los $i$ (si desea finito de valores de la función, tome $\tilde x_i$ en un barrio de $x_i$).

Ver también aquí, donde he utilizado una construcción similar.