Si no tienes fuertes sentimientos personales acerca de lo que ya la mayoría de ustedes tienen, al menos, fue testigo de las facciones opuestas sobre cómo debemos definir un anillo y, por extensión, cómo debemos definir un anillo homomorphism. La gran mayoría de definir un anillo a una unidad y requieren que el anillo de homomorphisms preservarla. Los demás no necesitan estas cosas de un anillo.
El patrón general he visto que determina en qué campo cualquier matemático cae es como "bueno" ellos quieren que su categoría de anillos. Aquellos que quieran cero morfismos y desea ser capaz de definir el núcleo de una de morfismos categóricamente a menudo optan por ir sin la unidad. Existe un impreso semi-famoso comentario acerca de este problema en la Teoría de los Radicales de los Anillos por Gardner y Wiegandt:
Aquí es donde mi pregunta comienza. He buscado por qué la categoría de Anillos (con la unidad) no tiene infinito co-productos. Y básicamente todo que los comentarios sobre que no se demuestra que no hay ningún objeto en el Anillo que satisface el universal propiedad de un subproducto de una familia infinita.
Lo que hacen a explicar es que lo que sería de esperar para ser el subproducto (esto es, el conjunto de la teoría de la suma directa con pointwise la adición y la multiplicación) no es un subproducto en el Anillo.
He tratado de demostrar la no existencia de un objeto para mí mismo, pero no he conseguido mucho. Uno tendría que mostrar que cada familia infinita de los anillos no pueden ser incrustados en otro anillo; o en el caso de que no es un objeto, siempre hay un 'menor' (no isomorfos) objeto en el Anillo que tiene la misma propiedad.
Por lo tanto mi pregunta es ¿alguien puede demostrarme que el Anillo (la categoría de anillos con unidad y la unidad preservar homomorphisms) no tiene infinito co-productos? O puede que me dirija a una referencia que puede tener mi respuesta?
