Mi pregunta es algo que he estado pensando durante algún tiempo ahora. Q: ¿por Qué es posible hacer las sustituciones o cambios en las variables ? Quiero decir, ¿cómo sé que se permiten sustituciones ?
Por ejemplo cuando hacemos uso de las fórmulas de Vieta a desaparecer con un segundo grado del monomio. O cuando hacemos un cambio de variables para resolver una ecuación integral.
Aquí es lo que yo pienso:
si queremos resolver una ecuación como esta $ax^2+bx+c=0$ podríamos convertirlo en una ecuación como esta $Ay^2+B=0$ que sabemos cómo resolver, para hacer que escribimos $x=u+v$ y obtenemos $a(u+v)^2+b(u+v)+c=0$ que es equivalente a $av^2 + (2au+b)v + au^2+bu+c=0$ que sabemos cómo resolver si nos deshacemos de el plazo $(2au+b)v$ pero para hacer lo que hacemos $u=-b/2a$.
Pero, ¿por qué se nos permite escribir $u=-b/2a$ ? Creo que podemos hacerlo porque estamos resolviendo esta ecuación en el conjunto $\mathbb{R}$, y podemos escribir cualquier número real en la forma $-b/2a$. Es por eso que no podemos resolver, $x^2+1=0$ mediante el establecimiento $x=\sqrt{y}$, en otras palabras, debido a que la función $\sqrt{}$ no es surjective. Por último, creo que se nos permite hacer una sustitución si el conjunto que estamos tratando de resolver la ecuación (en este caso la $\mathbb{R}$) nos permite escribir el número como la substution hacemos. Es que un poco a la derecha?
