construcción alternativos del grupo cociente

Question

El fondo de esta cuestión es que sé que muchos estudiantes comienzan a aprender álgebra se centran en la construcción estándar del cociente grupo$G/N$, en lugar de trabajar con la característica universal. Por lo tanto, sería bueno darle otra construcción, evitando así cosets, pero de modo que el universal propiedad está claro. Esta idea se me ocurrió hace unos años, pero nunca he encontrado algo.

Para otro ejemplo, hay una muy agradable e intuitiva de la construcción de la localización de un anillo: $S^{-1} A := A[\{X_s\}_{s \in S}] / (s X_s = 1)$. La idea es: Inventar nuevos elementos, y los fuerza a ser inversos a sus elementos de $S$. La característica universal de la siguiente manera a partir de la característica universal del cociente y libre de álgebra.

Tal vez cociente grupos son un poco demasiado elemental, de modo que no podría ser otra buena construcción (por favor, no responder cuando tienes que decir esto) ... de todos modos, todas las ideas son bienvenidas :). Estoy bastante seguro de que en este caso no es mejor que uno, pero tal vez otro . Puedo jugar con la representación de Cayley de a $G$ ...

Lo siento si esto es demasiado elemental para usted ;-)

Answer 1

(Esto es demasiado largo para caber en un comentario.) Desconocido sugerencia en los comentarios se pueden hacer tan explícitas como en su construcción de la localización. Es sólo que la construcción del polinomio anillo y el ideal generado por un conjunto de elementos y el cociente ideal son tan familiares que uno no se da cuenta de lo mucho que está involucrado en la construcción de la localización.

Deje $M$ el conjunto de pares $(H,f)$ donde $H$ es un grupo cuyo conjunto subyacente es un subconjunto de a $G$ $f \colon G \to H$ es un grupo homomorphism el envío de $N$ a la identidad. A continuación, $G/N$ es la imagen de $G \to \prod_{(H,f) \in M} H$.

La razón para exigir que el conjunto subyacente de $H$ a ser un subconjunto de a $G$ es para asegurarse de que $M$ es un conjunto. Está claro que el resultado de la universal de los bienes. También es claro que esta construcción utiliza muy poco acerca de la variedad de grupos.

Answer 2

He probado un método con una combinatoria del grupo de clase de teoría, que es el primero en mirar el universal del cociente de la propiedad en relación a las relaciones de equivalencia en un conjunto. Explorar esta idea, y mostrar que el conjunto de clases de equivalencia es la respuesta que usted quiere y usted se derivan de la `primera iso teorema " en ese contexto. La exploración es la muerte, si te gusta, con trivial capaz de hacer-ejemplos y construcciones que los estudiantes ya saben. (por ejemplo, diferentes pares (a,b) de números enteros dando la misma números racionales etc.) Una función se define una relación de equivalencia y la relación de equivalencia se define una función y que están relacionados. NB. no álgebra en todo a la vista. Esto es estrictamente las construcciones de conjuntos y funciones.

La idea de la universalización de la propiedad es ahora el centro del escenario, es decir, donde debería estar. Ahora usted puede preguntar si algo similar va a ocurrir para grupos y homomorphisms. El punto es que no está dividiendo por a (normal) subgrupo que está en juego aquí, pero por una relación de equivalencia (y que no va a funcionar, por supuesto). Las relaciones de equivalencia parecen ser más básico, tal vez.

Todos conocemos el problema y la respuesta pero el estudiante tiene entonces algo más cerca de su experiencia anterior. La equivalencia de la relación no funciona, puesto que, aunque el cociente no parecen tener un "obvio" de la multiplicación, que no funciona y simples ejemplos muestran, no a estar bien definidos (NB. 'Definición' es un concepto simple, pero los estudiantes pueden (y lo hacen) resulta muy difícil de comprender. De esta manera, se conoció como "los malos de la definición de' primera. La noción de bien la definición es tal vez no se entiende porque por lo general se presenta como una solución a un problema que el estudiante no ha cumplido en sí mismos).

Usted ahora a examinar lo que va mal y llegar a la idea de que se necesita una congruencia no simplemente una relación de equivalencia. (Aquí he utilizado un enfoque categórico sin el uso de el término de la categoría, y realmente se veía como una congruencia como una relación de equivalencia "internos" a la categoría de grupos... y no hay necesidad de mencionar categorías a menos que usted se siente como él. Usted puede hacer la transición de equivalencia en relación a la congruencia en cualquier forma que sea apropiada para el fondo de los alumnos.) Esta es la parte dura, no cosets, y es duro, pero una especie de evitarse en el tratamiento habitual.

Ahora normal subgrupos puede ser demostrado ser una reformulación de congruencias y puede pasar de uno a otro y de regreso de nuevo sin pérdida de información.

Me gusta este tratamiento como el cosets sólo aparecen en el último momento y, a continuación, son el grupo de teoría analógica de clases de equivalencia. (Si no tenemos los de todo antes de hacer cosets, entonces no hay esperanza!)

Este tratamiento también se concentra en el algebraicas detalles que realmente necesitan comprensión. No me refiero a la teoría de grupos detalles a medida que son más especializados. Tenemos clases de equivalencia, además de la definición y universal de los bienes, las tres grandes ideas.

Normal subgrupos salir como ser natural.

Hice este enfoque de trabajo? No todos los alumnos pueden manejar la idea de cosets, pero sí parecen más felices con clases de equivalencia, además de la definición, etc, y también parecía que la característica universal de la idea, que se reunieron en varios otros contextos (grupos de productos, producto gratis, gratis de grupo, etc.) en ese curso.

Answer 3

Con el fin de hacer que la construcción del cociente, parece que sería útil tener a la mano los cocientes del grupo $G$, describió de manera distinta formalmente a través de cosets.

Aquí es un enfoque posible:

La generalización de la acción de $G$ sobre sí mismo, tenemos la acción de $G$ en su juego de poder (dado por la traducción de un conjunto).

Si $S \subset G$ es cualquier subconjunto, podemos observar en la órbita de $S$ bajo $G$, que es algún subconjunto $\mathcal O_S$ de la potencia set de $G$, y se nos da un homomorphism $G \to Perm(\mathcal O_S)$ (el grupo de permutaciones de $\mathcal O_S$). Deje $G'$ ser la imagen de $G$ bajo este homomorphism.

Si ahora llevamos $S$ a ser un subgrupo normal $N$$G$,$G' = G/N$. Me pregunto cómo duro de esto es mostrar directamente, en términos de la característica universal?

Es fácil ver por lo menos que $G \rightarrow G'$ tiene la propiedad de que $N$ es en su núcleo. Se puede mostrar directamente en este set-up que cualquier mapa de $G \rightarrow G''$ tener $N$ en su núcleo factores a través de los explícitamente construido cociente $G'$?

No veo un poco argumento de inmediato, pero no parece demasiado inviable para mí.

Answer 4

Lo que uno realmente quiere es definir un homomorphism con kernel igual a N. Una forma de hacerlo sería definir una función de G para el grupo libre generado por los elementos de G y, a continuación, para identificar todo lo que usted necesita para identificar (en el grupo libre) para hacer este mapa un homomorphism que se desvanece en N. Por ejemplo, f(x) a ser identificados con la identidad para cada x en N, f(x)f(y) sería identificado con f(xy), y así sucesivamente. Pero demostrando que algo como esto funciona es de suponer que requieren que usted vaya a través de más o menos exactamente los mismos pasos que tienen que pasar para demostrar que la multiplicación de cosets está bien definido, por lo que podría llegar a ser un complicado innecesariamente manera de presentar esencialmente la misma prueba.

Este es, por supuesto, la habitual experiencia con universal construcciones: rara vez se las arreglan para conseguir algo por nada.