Estoy buscando un tensor en 4 dimensiones espacio-tiempo con dos índices que satisfacen:
\begin{eqnarray} M_{;\mu }^{\mu \nu } &=&0, \\ M^{\mu \nu } + M^{\nu\mu}&=&0, \nonumber \\ M_{;\varepsilon }^{\mu \nu }+M_{;\nu }^{\varepsilon \mu }+M_{;\mu }^{\nu \varepsilon } &=&0. \nonumber \end{eqnarray}
Una elección obvia sería la de intensidad de campo electromagnético, pero estoy investigando si es posible construir un tensor con dichas propiedades que sólo depende de las propiedades geométricas del espacio-tiempo el colector (tensor métrico, la conexión). Por ejemplo, el tensor de riemman cumple dos de estas propiedades para la renta fija α, β:
\begin{eqnarray} R_{;\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }+R_{;\nu }^{\alpha \beta \varepsilon \mu }+R_{;\mu }^{\alpha \beta \nu \varepsilon } &=&0\text{ } \\ R^{\alpha \beta \mu \nu } &=&-R^{\alpha \beta \mu \nu } \nonumber \end{eqnarray}
Pero me pareció que su divergencia es cero sólo en casos muy especiales, como para el máximo simétrica espacios. Existe de todos modos para construir un tensor con estas propiedades siempre, o al menos, no para casos especiales?
