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{fL1[0,1]|10|f|2>1} está abierto

Problema

(Aquí se L^1norma \int_0^1\lvert f\rvert)

Supongamos f\in L^1[0,1] tal que \int_0^1\lvert f\rvert^2>1. Necesito un explícito \epsilon>0 tal que tal que \int_0^1\lvert g\rvert^2>1 por cada g\in L^1[0,1] siempre \lVert g-f\rVert\le\epsilon.

Comentario

Uno puede encontrar \epsilon no-constructiva de la siguiente manera: de lo contrario, podemos optar \{g_n\}\subseteq L^1[0,1] tal que \lVert g_n-f\rVert\to0\int_0^1\lvert g_n\rvert^2\le1, \lvert g_n\rvert^2\to\lvert f\rvert^2 en su medida, y por Fatou del lexema, \int_0^1\lvert f\rvert^2\ge1, contradicción!

Sin embargo, quiero explicar un \epsilon>0, es decir, la perturbación de la radio, para cada una de las f. Para empezar, consideremos f=c>1 y corregir \epsilon>0. Tratamos de minimizar \int_0^1\lvert g\rvert^2 bajo el supuesto de que \lVert g-f\rVert=\eta\le\epsilon. Deje h=f-g, y es natural suponer que h>0, ya que el \lvert g\rvert\ge\big\lvert\lvert f\rvert-\lvert h\rvert\big\rvert. Entonces I=\int_0^1\lvert g\rvert^2=c^2-2c\eta+\int_0^1\lvert h\rvert^2\ge c^2-2c\eta+\left(\int_0^1\lvert h\rvert\right)^2=(c-\eta)^2 Si \epsilon es lo suficientemente pequeño, entonces la I_\mathrm{min}=(c-\epsilon)^2 cuando se toma h=\epsilon.

Si f es arbitrario, tal vez podemos aproximar f por funciones simples, a continuación, obtener algunas buenas estimaciones. Yo no tengo ninguna idea clara sobre cómo proceder, y espero que podamos obtener una buena, si no mejor, \epsilon por cada f.

Alguna idea? Gracias!

Advertencia

Uno debe tener en cuenta que el resultado no es trivial, por ver que por el contrario, a \left\{\,f\in L^1[0,1]\,\big\vert\,\int_0^1\lvert f\rvert^2<1\,\right\} es, sin embargo, nada denso, y por lo tanto L^2[0,1] es escaso en L^1[0,1]. Parece sorprendente, pero debe ser claro, después de recordar los siguientes hechos:

  1. h_\epsilon(x)=\epsilon/\sqrt x es pequeña en L^1-norma, pero no de cuadrado integrable;
  2. La colección de funciones continuas C^0[0,1] L^1- norma puede ser incrustado densamente en L^1[0,1];
  3. Para cada una de las f\in C^0[0,1],\int_0^1\lvert f+h_\epsilon\rvert^2=+\infty.

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Respuesta: \epsilon = \int_0^1 (|f|-M)^+ donde M>0 es una constante tal que \int_0^1 \min(|f|,M)^2=1. Aquí a^+=\max(a,0) \epsilon está determinada únicamente a pesar de M podría no ser.

No es difícil reducir el problema al caso de f\ge 0 (ya que estamos trabajando fundamentalmente con |f|), así que voy a asumir f\ge 0. Podemos replantear la pregunta:

Minimizar el funcional \phi(g)=\|f-g\|_1 sobre la bola unidad cerrada de L^2.

El funcional \phi está delimitado de la siguiente norma continua y convexa. Por lo tanto es levemente inferior semicontinuo en L^2, lo que implica que alcanza su infimum la bola unidad cerrada. (Se puede argumentar este punto directamente, sin necesidad de invocar a todos este material a partir del cálculo de variaciones: tomar un infimizing secuencia, seleccione débilmente convergente larga, aplicar Mazur del lema para obtener una fuertemente convergentes secuencia que es también infimizing).

Deje g ser un minimizer. Tenga en cuenta que g\ge 0 (de lo contrario |g| beats g) y g\le f (de lo contrario \min(f,g) beats g). Por eso, \|f-g\|=\int_0^1 f - \int_0^1 g. En otras palabras, g maximiza \int_0^1 g sujeto a las dos condiciones \|g\|_2\le 1g\le f.

Ahora se hace evidente que g debe ser esencialmente constante en el set \{x:g(x)<f(x)\}. De hecho, de lo contrario no es \epsilon>0 tal que g no es esencialmente constante en el set E=\{x:g(x)<f(x)-\epsilon\}. A continuación, podemos encontrar dos constantes \alpha<\beta y dos subconjuntos A,B E de igual medida positiva tal que g\le \alphaAg\ge \betaB. Considere la posibilidad de la perturbación g_t = g+ t(\chi_A - \chi_B),\quad t>0 que para las pequeñas t preserva la condición de g\le f, preserva \int_0^1 g, y estrictamente disminuye el \|g\|_2. La adición de otro pequeño múltiples de \chi_A crea una función h\int_0^1 h>\int_0^1 g.

Desde la minimización de la función g es igual a una constante M.e. en el set \{f<g\}, puede ser escrito como g=\min(f,M). La conclusión de la siguiente manera.

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