$\left\{\,f\in L^1[0,1]\,\big\vert\,\int_0^1\lvert f\rvert^2>1\right\}$ está abierto

Question

Problema

(Aquí se $\lVert f\rVert$ $L^1$norma $\int_0^1\lvert f\rvert$)

Supongamos $f\in L^1[0,1]$ tal que $\int_0^1\lvert f\rvert^2>1$. Necesito un explícito $\epsilon>0$ tal que tal que $\int_0^1\lvert g\rvert^2>1$ por cada $g\in L^1[0,1]$ siempre $\lVert g-f\rVert\le\epsilon$.

Comentario

Uno puede encontrar $\epsilon$ no-constructiva de la siguiente manera: de lo contrario, podemos optar $\{g_n\}\subseteq L^1[0,1]$ tal que $\lVert g_n-f\rVert\to0$$\int_0^1\lvert g_n\rvert^2\le1$, $\lvert g_n\rvert^2\to\lvert f\rvert^2$ en su medida, y por Fatou del lexema, $\int_0^1\lvert f\rvert^2\ge1$, contradicción!

Sin embargo, quiero explicar un $\epsilon>0$, es decir, la perturbación de la radio, para cada una de las $f$. Para empezar, consideremos $f=c>1$ y corregir $\epsilon>0$. Tratamos de minimizar $\int_0^1\lvert g\rvert^2$ bajo el supuesto de que $\lVert g-f\rVert=\eta\le\epsilon$. Deje $h=f-g$, y es natural suponer que $h>0$, ya que el $\lvert g\rvert\ge\big\lvert\lvert f\rvert-\lvert h\rvert\big\rvert$. Entonces $$I=\int_0^1\lvert g\rvert^2=c^2-2c\eta+\int_0^1\lvert h\rvert^2\ge c^2-2c\eta+\left(\int_0^1\lvert h\rvert\right)^2=(c-\eta)^2$$ Si $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño, entonces la $I_\mathrm{min}=(c-\epsilon)^2$ cuando se toma $h=\epsilon$.

Si $f$ es arbitrario, tal vez podemos aproximar $f$ por funciones simples, a continuación, obtener algunas buenas estimaciones. Yo no tengo ninguna idea clara sobre cómo proceder, y espero que podamos obtener una buena, si no mejor, $\epsilon$ por cada $f$.

Alguna idea? Gracias!

Advertencia

Uno debe tener en cuenta que el resultado no es trivial, por ver que por el contrario, a $\left\{\,f\in L^1[0,1]\,\big\vert\,\int_0^1\lvert f\rvert^2<1\,\right\}$ es, sin embargo, nada denso, y por lo tanto $L^2[0,1]$ es escaso en $L^1[0,1]$. Parece sorprendente, pero debe ser claro, después de recordar los siguientes hechos:

1. $h_\epsilon(x)=\epsilon/\sqrt x$ es pequeña en $L^1$-norma, pero no de cuadrado integrable;
2. La colección de funciones continuas $C^0[0,1]$ $L^1$- norma puede ser incrustado densamente en $L^1[0,1]$;
3. Para cada una de las $f\in C^0[0,1]$,$\int_0^1\lvert f+h_\epsilon\rvert^2=+\infty$.

Answer 1

Respuesta: $\epsilon = \int_0^1 (|f|-M)^+$ donde $M>0$ es una constante tal que $\int_0^1 \min(|f|,M)^2=1$. Aquí $a^+=\max(a,0)$ $\epsilon$ está determinada únicamente a pesar de $M$ podría no ser.

No es difícil reducir el problema al caso de $f\ge 0$ (ya que estamos trabajando fundamentalmente con $|f|$), así que voy a asumir $f\ge 0$. Podemos replantear la pregunta:

Minimizar el funcional $\phi(g)=\|f-g\|_1$ sobre la bola unidad cerrada de $L^2$.

El funcional $\phi$ está delimitado de la siguiente norma continua y convexa. Por lo tanto es levemente inferior semicontinuo en $L^2$, lo que implica que alcanza su infimum la bola unidad cerrada. (Se puede argumentar este punto directamente, sin necesidad de invocar a todos este material a partir del cálculo de variaciones: tomar un infimizing secuencia, seleccione débilmente convergente larga, aplicar Mazur del lema para obtener una fuertemente convergentes secuencia que es también infimizing).

Deje $g$ ser un minimizer. Tenga en cuenta que $g\ge 0$ (de lo contrario $|g|$ beats $g$) y $g\le f$ (de lo contrario $\min(f,g)$ beats $g$). Por eso, $\|f-g\|=\int_0^1 f - \int_0^1 g$. En otras palabras, $g$ maximiza $\int_0^1 g$ sujeto a las dos condiciones $\|g\|_2\le 1$$g\le f$.

Ahora se hace evidente que $g$ debe ser esencialmente constante en el set $\{x:g(x)<f(x)\}$. De hecho, de lo contrario no es $\epsilon>0$ tal que $g$ no es esencialmente constante en el set $E=\{x:g(x)<f(x)-\epsilon\}$. A continuación, podemos encontrar dos constantes $\alpha<\beta$ y dos subconjuntos $A,B$ $E$ de igual medida positiva tal que $g\le \alpha$$A$$g\ge \beta$$B$. Considere la posibilidad de la perturbación $$g_t = g+ t(\chi_A - \chi_B),\quad t>0$$ que para las pequeñas $t$ preserva la condición de $g\le f$, preserva $\int_0^1 g$, y estrictamente disminuye el $\|g\|_2$. La adición de otro pequeño múltiples de $\chi_A$ crea una función $h$$\int_0^1 h>\int_0^1 g$.

Desde la minimización de la función $g$ es igual a una constante $M$.e. en el set $\{f<g\}$, puede ser escrito como $g=\min(f,M)$. La conclusión de la siguiente manera.