Problema
(Aquí se ‖ L^1norma \int_0^1\lvert f\rvert)
Supongamos f\in L^1[0,1] tal que \int_0^1\lvert f\rvert^2>1. Necesito un explícito \epsilon>0 tal que tal que \int_0^1\lvert g\rvert^2>1 por cada g\in L^1[0,1] siempre \lVert g-f\rVert\le\epsilon.
Comentario
Uno puede encontrar \epsilon no-constructiva de la siguiente manera: de lo contrario, podemos optar \{g_n\}\subseteq L^1[0,1] tal que \lVert g_n-f\rVert\to0\int_0^1\lvert g_n\rvert^2\le1, \lvert g_n\rvert^2\to\lvert f\rvert^2 en su medida, y por Fatou del lexema, \int_0^1\lvert f\rvert^2\ge1, contradicción!
Sin embargo, quiero explicar un \epsilon>0, es decir, la perturbación de la radio, para cada una de las f. Para empezar, consideremos f=c>1 y corregir \epsilon>0. Tratamos de minimizar \int_0^1\lvert g\rvert^2 bajo el supuesto de que \lVert g-f\rVert=\eta\le\epsilon. Deje h=f-g, y es natural suponer que h>0, ya que el \lvert g\rvert\ge\big\lvert\lvert f\rvert-\lvert h\rvert\big\rvert. Entonces I=\int_0^1\lvert g\rvert^2=c^2-2c\eta+\int_0^1\lvert h\rvert^2\ge c^2-2c\eta+\left(\int_0^1\lvert h\rvert\right)^2=(c-\eta)^2 Si \epsilon es lo suficientemente pequeño, entonces la I_\mathrm{min}=(c-\epsilon)^2 cuando se toma h=\epsilon.
Si f es arbitrario, tal vez podemos aproximar f por funciones simples, a continuación, obtener algunas buenas estimaciones. Yo no tengo ninguna idea clara sobre cómo proceder, y espero que podamos obtener una buena, si no mejor, \epsilon por cada f.
Alguna idea? Gracias!
Advertencia
Uno debe tener en cuenta que el resultado no es trivial, por ver que por el contrario, a \left\{\,f\in L^1[0,1]\,\big\vert\,\int_0^1\lvert f\rvert^2<1\,\right\} es, sin embargo, nada denso, y por lo tanto L^2[0,1] es escaso en L^1[0,1]. Parece sorprendente, pero debe ser claro, después de recordar los siguientes hechos:
- h_\epsilon(x)=\epsilon/\sqrt x es pequeña en L^1-norma, pero no de cuadrado integrable;
- La colección de funciones continuas C^0[0,1] L^1- norma puede ser incrustado densamente en L^1[0,1];
- Para cada una de las f\in C^0[0,1],\int_0^1\lvert f+h_\epsilon\rvert^2=+\infty.