Creo que esto es bien conocido para los que trabajan en normal/inverso semigroups. Tan bien conocidos en el hecho de que uno puede incluso encontrar pruebas en la web, por ejemplo, véase esta prueba en PlanetMath. Por desgracia, no puedo recordar la historia de este resultado, a pesar de que yo vagamente recuerdo leer algo acerca de esas décadas.
La integridad, la reproduzco a continuación la prueba presentada en PlanetMath (ligeramente modificado).
Teorema $\ $ no está vacío semigroup $S$ es un grupo si y sólo si para cada a $x\in S$ hay un único, $y\in S$ tal que $xyx=x$.
Prueba de $\ $ Supongamos que $S$ es un no-vacío semigroup, y para cada $x\in S$ hay un único, $y\in S$ tal que $xyx=x.$ Por cada $x\in S,$ deje $x'$ denotar el elemento único de la $S$ tal que $\,xx'x=x.\ $$\,x(\color{blue}{x'xx'})x=(xx'x)x'x=x\color{#C00}{x'}x=x,\,$, por lo que, por la singularidad, $\color{blue}{x'xx'}=\color{#C00}{x}',$ y, por tanto, $\color{blue}x = \color{#C00}{x}''.$
Para cualquier $x\in S,$ el elemento $xx'$ es idempotente, por $(xx')^2=(xx'x)x'=xx'.$ $S$ es no vacío, se infiere que el $S$ tiene al menos un idempotente. Si $i\in S$ es idempotente, entonces $ix =ix\color{#0A0}{(ix)'}ix=ix\color{#C00}{(ix)'i}ix,$, por lo que, por la singularidad, $\color{#C00}{(ix)'i}=\color{#0A0}{(ix)'},$ por lo tanto $(ix)'=(ix)'(ix)''(ix)'=\color{#C00}{(ix)'i}x(ix)'=\color{#0A0}{(ix)'}x(ix)',$, por lo que, por la singularidad, $x = (ix)''=ix.$, por Lo que cada idempotente $i$ está a la izquierda de la identidad, y, por una simetría, un derecho de identidad. Por lo tanto, $S$ tiene más de un elemento idempotente. Combinado con el resultado anterior, esto significa que $S$ tiene exactamente un elemento idempotente, denotado $e$ . Hemos demostrado que $e$ es una identidad, y que $xx'=e$ por cada $x\in S,$ por lo tanto $S$ es un grupo.
Por el contrario, si $S$ es un grupo, a continuación, $xyx=x$ claramente tiene una solución única, es decir, $y=x^{-1} . $
$\ $ QED
