Una pregunta sobre una prueba en una de Sierpiński ' documentos s

Question

La siguiente es una pregunta acerca de Sierpiński del papel "Une démonstration du théorème sur la structure des conjuntos de puntos", (enlace):

Llamamos a un conjunto denso en sí misma, si no contiene puntos aislados. Un punto aislado $x$ es un punto para que un barrio existe que no contiene puntos del conjunto distinto de $x$.

Deje $C$ ser un subconjunto de a $\mathbb R$ que no contiene ningún denso-en-sí subconjuntos. Mediante una enumeración de los contables de base que consiste de las bolas $B(q,\frac{1}{n})$ podemos mostrar (sin usar el axioma de elección) que existe una función de $\varphi$ que elige un punto de $p$$C$. Podemos definir a la $\varphi$ mediante la observación de que hay al menos una bola que contiene un solo punto de $C$. Definir $\varphi$ a devolver el primer punto de la enumeración de las llamadas básicas tales que la pelota no contiene otros puntos de $C$.

$\varphi$ es una función definida en todos los subconjuntos de a $C$.

A mí me parece que $\varphi$ por lo tanto es una función de elección para $C$ y además de que se produce una enumeración de $C$.

En el documento se establece $p_0 = \varphi (C)$ y, a continuación, pasa a definir familias de $\mathcal K$ de los subconjuntos de a $C$ con las propiedades

(i) $\{p_0\} \in \mathcal K$

(ii) si $A_i$ $\mathcal K$ $\bigcup_i A_i \in \mathcal K$

(iii) si $E \subsetneq C$$\mathcal K$$E \cup \varphi (C \setminus E)$$\mathcal K$.

Él usa $\mathcal K$ a dar una prueba de que $C$ con la anterior propiedad es enumerable sin usar el axioma de elección y sin el uso de la inducción transfinita.

Mi pregunta es: ¿Es eficaz enumerability de $C$ no inmediatamente siga por el hecho de que $\varphi$ es una función de elección para $C$ (a través de inducción transfinita)?

Sospecho que podría ser el uso de algún tipo de elección en mis pensamientos sin ser conscientes de ello. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Mi primer intento fue completamente incorrecta. Aquí es un esquema de la prueba, la falta de todos los detalles, y el cambio de algunas notaciones.

1. Demostrar que, dado cualquier dispersos set $C$, de cómo escoger un elemento $\varphi (C) \in C$.
2. Empezar con un desperdigados $C$.

3. Dejando $p_0 = \varphi ( C )$, considera el más pequeño de la familia $\mathcal{K}_0$ de los subconjuntos de a $C$ la satisfacción de las siguientes:

   1. $p_0 \in E$ todos los $E \in \mathcal{K}_0$;
   2. $\mathcal{K}_0$ es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos;
   3. Dado cualquier subconjunto $E$ $C$ $\mathcal{K}_0$ el conjunto $E \cup \{ \varphi ( C \setminus E ) \}$ pertenece a $\mathcal{K}_0$.

4. Mostrar que $\mathcal{K}_0$ tiene la propiedad adicional de que, por cualquier $E , G \in \mathcal{K}_0$ $E \subseteq G$ o $G \subseteq E$ mantiene.

5. Recogiendo $p \neq p_0 \in C$ considera $E_p = \bigcup \{ E \in \mathcal{K}_0 : p \notin E \}$; tenga en cuenta que$E_p \neq \emptyset$$E_p \in \mathcal{K}_0$.

6. Tenga en cuenta que $\varphi ( C \setminus E_p ) = p$ todos los $p \neq p_0$$C$.

7. Dado distintas $p , p^{\prime} \in C \setminus \{ p_0 \}$ nota de que cualquiera de las $E_{p} \subseteq E_{p^{\prime}}$ o a la inversa inclusión sostiene. A continuación, se deduce que, o bien $p^{\prime} \in C \setminus E_{p}$ o $p \in C \setminus E_{p^{\prime}}$ (pero no ambos).
8. Para cada una de las $p \in C \setminus \{ p_0 \}$ denotar por $n ( p )$ el índice de la primera esfera se $S_n$ que $S_n \cap C \setminus E_p = \{ p \}$.
9. Muestran que para las distintas $p , p^\prime \in C \setminus \{ p_0 \}$ tenemos $n(p) \neq n(p^\prime)$.
10. Enumerar $C \setminus \{ p_0 \}$ de acuerdo a los valores de $n(p)$. (Agregar $p_0$ como primer elemento.)

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Addendum: El siguiente no habría sido posible sin los comentarios realizados por Dave L. Renfro, a continuación. (Por supuesto, cualquier error o mal las declaraciones que figuran a continuación son exclusivamente mi culpa.)

En sus Números Cardinales y Ordinales, Sierpiński dice lo siguiente:

Si podemos establecer una correspondencia 1-1 (al menos uno) entre los elementos de dos conjuntos de $A$$B$, entonces decimos que los conjuntos de eficacia equivalente, y escribir $A \mathrel{\text{ef}\mathord{\sim}} B$.

Lo que se quiere decir aquí es que la eficacia de equivalencia es un fuerte noción de equivalencia, donde sólo se tiene que demostrar que dos conjuntos son en correspondencia 1-1 sin mostrar ninguna correspondencia. (Supongo que esto se puede leer algo intuitionistically, pero también parece paralelo de las nociones modernas.)

Más contemporáneas con el documento en cuestión, en Les exemples effectifs et l''axiome du choix [Fondo.Math., Tom.2 (1921), 112 a 118, link] Sierpiński da la siguiente definición.

Lorsque nous avons sido definida de la onu objet particular $p$ jouissant de propriétés donnés $P$, nous disons que nous avons naciones unidas ejemplo effectif d'un objet jouissant de propriétés $P$.

[Google-Translate de traducción asistida: Cuando hemos definido un objeto en particular $p$ disfrutando de las propiedades de $P$, podemos decir que tenemos un eficaz ejemplo de un objeto que goza de las propiedades de $P$.]

Por lo que la eficacia en el documento vinculado en el OP es sólo acerca de exhibir un determinado 1-1 correspondencia con los números naturales.

Answer 2

No tengo acceso a Zermelo del papel en el momento, ni la capacidad para leer en francés, pero el argumento que dan aquí me parece muy similar a la de Zermelo de 1908 papel en el que se reprocha a la buena ordenación teorema de uso $\Theta$-cadenas.

A pesar de los mejores esfuerzos, no pude encontrar cuando y donde se probó que $A$ puede ser bien ordenado si y sólo si $\mathcal P(A)\setminus\{\varnothing\}$ tiene una función de elección. No me sorprendería si que se observó después de Sierpinski escribió su papel, pero no me sorprendería si que era conocido antes.

En cualquier caso, es posible que Sierpinski es tratar de mostrar que $C$ es contable, que es más que decir que es un bien disponible.