Cómo resolver : $ A =\frac{1}{6}\left((\log_2(3))^3-(\log_2(6))^3-(\log_2(12))^3+(\log_2(24))^3\right) $

Question

$ A =\frac{1}{6}\left((\log_2(3))^3-(\log_2(6))^3-(\log_2(12))^3+(\log_2(24))^3\right).$ Resolver para $2^A.$

(ninguna de las calculadoras o los gráficos están permitidos)

La forma en que me fui de resolver este problema es el uso de las propiedades de la base de $2$. Por ejemplo, $2^x = 8$ , $x$ es, obviamente,$3$, y $2^y = 16$, $y = 4 = x+1$, así que la adición de $1$ a el exponente le dará el doble de la respuesta. Ya que los argumentos son dos veces cada uno de los otros, he utilizado este patrón:

$ A =\frac{1}{6}\left((x)^3-(x+1)^3-(x+2)^3+(x+3)^3\right)$

$= \frac{1}{6}\left((x^3-(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)-(x^3 + 6x^2 + 12x + 8)+(x^3 + 9x^2 + 27x + 27)\right)$

Simplificando obtenemos $A = (12x + 18)/6 = 2x + 3.$

Así que ahora he resuelto para $2^{2x+3}$ $2^{2x} =2^x * 2^x = 3^2 = 9.$ Ahora, desde que añadimos $3$ para el exponente, tenemos $2^{2x+3} = (2^3)(9) = 72.$

Sería la respuesta correcta, y si no, ¿qué sería una buena manera de ir sobre él?

Answer 1

Si se tratara de que se le pregunte en el examen, se podría ahorrar algún tiempo en la simplificación aprovechando el hecho de que$a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2)$

Rearanging de la manera siguiente

ps

ps

ps

$$\frac{1}{6}\left((x+3)^3 - (x+2)^3 - \left((x+1)^3 - x^3)\right)\right)$ $$$\frac{1}{6}\left((x+3)^2 + (x+2)^2+(x+3)(x+2) - \left((x+1)^2 + x^2+x(x+1))\right)\right)$ $

Answer 2

Una buena elección de sustitución podría ayudar a reducir el desorden de los registros y los paréntesis anidados, dando una solución agradable a la vista y simétrica.

Deje$\text{L}^mn=(\log_2 n)^m$ y poner$u=L3=\log_23$.

Por lo tanto

$$ \begin{align} \text{L}^3 3&=(L3)^3&=u^3\\ \text{L}^3 6&=(L3+L2)^3&=(u+1)^3\\ \text{L}^3 12&=(L2+L4)^3&=(u+2)^3\\ \text{L}^3 24&=(L2+L8)^3&=(u+3)^3\end {Align} $$

$$ \begin{align} A&=\frac16 ((\log_2(3))^3-(\log_2(6))^3-(\log_2(12))^3+(\log_2 (24))^3)\\ &=\frac16 (L^33-L^36-L^312+L^324)\\ &=\frac 16 \left[u^3-(u+1)^3-(u+2)^3+(u+3)^3\right]\\ &=\frac 16 \left[ 12u+18\right]\\ &=2u+3\\ &=2L3+L8\\ &=L72=\log_2 72\\ 2^A&=72\qquad \blacksquare \end {Align} $$

---

respuesta anterior a continuación: $$ \begin{align}\text{L}^3 3&=(\log_2 3)^3&&=u^3\\ \text{L}^3 6&=(\log_2 6)^3&=(\log_2 3+\log_2 2)^3&=(u+1)^3\\ \text{L}^3 12&=(\log_2 12)^3&=(\log_2 3+\log_2 4)^3&=(u+2)^3\\ \text{L}^3 24&=(\log_2 24)^3&=(\log_2 3+\log_2 8)^3&=(u+3)^3\end {align} $$

$$ \begin{align} A&=\frac16 ((\log_23)^3-(\log_2 6)^3-(\log_2 12)^3+(\log_2 24)^3)\\ &=\frac 16 \left[u^3-(u+1)^3-(u+2)^3+(u+3)^3\right]\\ &=\frac 16 \left[ 12u+18\right]\\ &=2u+3\\ &=2\log_2 3+\log_28\\ &=\log_2 72\\ 2^A&=72\qquad \blacksquare \end {Align} $$