Deje$X$ es la norma normal y$a>b>0$, prueban que$\lim\limits_{\epsilon\to 0}\epsilon^2\log P(|\epsilon X -a|<b)=-\frac{(a-b)^2}{2}$

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria normal estándar, con $a,b>0$$a-b>0$, demuestran que, a $$\lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^2\log P(|\epsilon X -a|<b)=-\frac{(a-b)^2}{2}$$

Estoy estudiando para una qual y esta fue una anterior problema (problema 6b). De una parte, sabemos $\lim_{\epsilon\to 0} P(|\epsilon X -a|<b)=0$

He intentado utilizar la regla de L'Hospital:

$$\frac{\log P(|\epsilon X -a|<b)}{1/\epsilon^2}=\frac{1}{-2/\epsilon^3}\frac{1}{P(|\epsilon X -a|<b)}\frac{d}{d\epsilon }P(|\epsilon X -a|<b)$$

Entonces tenemos que calcular el $\frac{d}{d\epsilon }P(|\epsilon X -a|<b)$:

$$\frac{d}{d\epsilon }P(|\epsilon X -a|<b)=\frac{d}{d\epsilon} \int_{(a-b)/\epsilon}^{(a+b)/\epsilon} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}~dt$$

Aquí es donde estoy atascado. Por supuesto que puede utilizar el teorema fundamental del cálculo, sino que se convierte en un gran lío. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Laplace-tipo de métodos son el enfoque clásico para este tipo de grandes desviaciones de los resultados, pero podría ser vale la pena detalle de los cálculos en el presente caso. Ya sabemos que $$ P(|\epsilon X -a|<b)=\frac1{\sqrt{2\pi}}I(\epsilon)\quad \text{con}\quad I(\epsilon)=\int_{(a-b)/\epsilon}^{(a+b)/\epsilon} e^{-t^2/2}~dt $$ El cambio de variable $$ t=(a-b)/\epsilon+s\epsilon $$ los rendimientos $$ I(\epsilon)=e^{-(a-b)^2/2\epsilon^2}\epsilon J(\epsilon)\quad \text{con}\quad J(\epsilon)=\int_{0}^{2b/\epsilon^2}e^{-s^2\epsilon^2/2-s(a-b)}~ds $$ Ahora, por cada $\epsilon$, $$ J(\epsilon)\leqslant\int_{0}^{\infty}e^{-s(a-b)}~ds=\frac1{a-b} $$ y, para cada $\epsilon$ en $(0,1)$, $2b/\epsilon^2\geqslant2b/\epsilon$ por lo tanto $$ J(\epsilon)\geqslant\int_{0}^{2b/\epsilon}e^{-2b^2-s(a-b)}~ds=\frac{e^{-2b^2}}{a-b}-o(1) $$ Finalmente, $J(\epsilon)=\Theta(1)$ por lo tanto $\log J(\epsilon)=\Theta(1)$ y, como se desee, $$ \epsilon^2\log P(|\epsilon X -a|<b)=\epsilon^2\log I(\epsilon)+\Theta(\epsilon^2\log\epsilon)=\color{red}{-\tfrac12(a-b)^2}+\Theta(\epsilon^2\log\epsilon) $$ Más en general, para cada intervalo de $B$ (y en este caso puede ser ampliada aún más a otros conjuntos de Borel), $$ \epsilon^2\log P(\epsilon X \B)=-\tfrac12\inf_{x\in B}x^2 $$

Answer 2

Deje$I(\epsilon)$ sea la integral dada por

ps

Entonces, tenemos las siguientes estimaciones. Una cota superior de$$I(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(a-b)/\epsilon}^{(a+b)/\epsilon}e^{-t^2/2}\,dt$ es

ps

Para$I(\epsilon)$, una cota inferior para$$I(\epsilon)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(a-b)/\epsilon}^{(a+b)/\epsilon}e^{-t^2/2}\,dt\le \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(a-b)^2/(2\epsilon^2)}\frac{b}{2\epsilon}\tag 1$ es

$$ \begin{align} I(\epsilon)&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(a-b)/\epsilon}^{(a+b)/\epsilon}e^{-t^2/2}\,dt\\\\ &\ge \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{(a-b)/\epsilon}^{(a-b)/\epsilon+1}e^{-t^2/2}\,dt\\\\ &\ge \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12\left(\frac{a-b}{\epsilon}+1\right)^2}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\,e^{-(a-b)/\epsilon}\,e^{-(a-b)^2/(2\epsilon^2)}\tag 2 \end {Align} $$

El uso de$0<\epsilon<2b$ y$I(\epsilon)$ junto espectáculos

ps

aplicación de dónde del teorema del emparedado produce el límite codiciado.