Demostrar los problemas de límite

Question

Tengo dos problemas que piden la prueba del límite:

Demostrar el siguiente límite:
ps

y,

Demostrar el siguiente límite:
ps

Me puede sentir que estos dos problemas son de la misma clase. Mundial de alguien por favor me ayude con uno de ellos, y los de averiguar el otro? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejar

ps

Podemos ver que$$ f(x)=\ x e^{x^2}\int_x^\infty e^{-t^2} \implies f(x)=\ x e^{x^2}g(x).$ y$ f(0)=0 $. Tomando el límite cuando$f(x)>0,\,\, \forall x>0$ tiende a infinito y el uso de la regla de L'hobital y los rendimientos de reglas integrante Leibniz

ps

Answer 2

Después de un adecuado sustitución, ambos límites son fácilmente manipulados por los Dominados Convergencia o la Monotonía de Convergencia.

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La Primera Integral

Sustituyendo $t\mapsto\sqrt{t+x^2}$, $$ \begin{align} xe^{x^2}\int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm{d}t &=xe^{x^2}\int_0^\infty e^{-t-x^2}\frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{t+x^2}}\\ &=\frac12\int_0^\infty e^{-t}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t/x^2}}\tag{1} \end{align} $$ La ecuación de $(1)$ muestra que el integrando es creciente con $x$ y Dominado o Monótono de Convergencia, el límite es $$ \frac12\int_0^\infty e^{-t}\,\mathrm{d}t=\frac12\etiqueta{2} $$

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La Segunda Integral

Sustituyendo $p\mapsto p/x$, $$ \begin{align} x\int_0^\infty\frac{e^{-px}}{p+1}\,\mathrm{d}p &=\int_0^\infty\frac{e^{-p}}{1+p/x}\,\mathrm{d}p\tag{3} \end{align} $$ La ecuación de $(3)$ muestra que el integrando es creciente con $x$ y Dominado o Monótono de Convergencia, el límite es $$ \int_0^\infty e^{-p}\,\mathrm{d}p=1\etiqueta{4} $$

Answer 3

Para el primer problema, use integración por partes, seguido de crudo de la estimación.

Deje $u=\frac{1}{t}$$dv=te^{-t^2}\,dt$. A continuación, $du=-\frac{1}{t^2}\,dt$ y podemos tomar $v=-\frac{1}{2}e^{-t^2}$. Por lo tanto nuestros integral es igual a $$\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}e^{-x^2}-\int_x^\infty \frac{1}{2t^2}e^{-t^2}\,dt.$$ Multiplicando $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{2}e^{-x^2}$ $xe^{x^2}$ nos da el término principal. Queda por comprobar que $\int_x^\infty \frac{1}{2t^2}e^{-t^2}\,dt$ es lo suficientemente pequeño que multiplicar por $xe^{x^2}$ da un pequeño resultado.

Tenemos $$\int_x^\infty \frac{1}{2t^2}e^{-t^2}\,dt \lt \frac{1}{2x^2}\int_x^\infty e^{-t^2}\,dt.$$ Podemos enlazado $\int_x^\infty e^{-t^2}\,dt$ mediante la integración de$x$$x+1$, y de$x+1$$\infty$. La integral de$x$$x+1$$\lt e^{-x^2}$.

Para$x+1$$\infty$, hacer el cambio de variable $t=s+1$. Queremos $\int_{s=x}^\infty e^{-s^2-2s-1}\,ds$, que es menos de $e^{-x^2}\int_x^\infty e^{-2s-1}\,ds$. El resto de la integral es acotado por una constante.

Answer 4

Voy a hacer el segundo. Y parece que André Nicolas hizo el primero de ellos mientras estaba escribiendo, así que todo está bien.

Por la integración por partes, $$ x \ int_0 ^ { \ infty} \ frac {e ^ {- px}} {p 1} dp = 1- \ int_0 ^ { \ infty} \ frac {e ^ {- px}} {(p 1) ^ 2} dp \ leq 1% para todos $$ $x>0$.

Ahora por Lebesgue teorema de convergencia dominada, los RHS tiende a$1-0=1$ como$x\rightarrow +\infty$.

Así que la sup sobre$x>0$ es de hecho$1$.

Answer 5

Las principales cosas que me gustaría añadir a las otras respuestas es aplicar de manera explícita la definición de un límite, en lugar de dejarlo todo a los teoremas de más alto nivel, ya que el OP dijo que el problema estaba probando los límites.

ps

ps

ps

ps

Y el resto de toda la peripecia de encontrar alguna expresión para$$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; N > 0 \ni x > N \Rightarrow \left| f(x) - L \right| < \varepsilon$ que contenía$$\;\\ x e^{x^2}\int_x^\infty e^{-t^2} \, dt = \lim_{b \rightarrow \infty} x e^{x^2}\int_x^b e^{-t^2} \, dt = L \Leftrightarrow \\ \forall \; \varepsilon > 0 \; \exists \; N > 0 \ni b > N \Rightarrow \left| e^{x^2}\int_x^b e^{-t^2} \, dt - L \right| < \varepsilon$ y$$\;\\ \text{Let} L = {1\over2}$ que se puede demostrar siempre es lo suficientemente grande (y luego hacerlo).