Un modelo transitivo incontable cree que todos los números reales son construibles

Question

Yo estoy luchando para resolver el siguiente antiguo examen de problema:

Suponga $\mathsf{ZFC}+V=L$. Probar que si $M$ es cualquier innumerables transitiva conjunto tal que $(M,\in)\models\mathsf{ZFC}$, $(M,\in)\models$ "cada conjunto de números enteros es edificable".

Creo que debería ser un estándar de la Condensación del argumento, pero no puedo conseguir que funcione. Un par de observaciones:

1. Éste es un estándar de Condensación argumento fácil si $M$ (en lugar de $V$) satisface $V=L$.
2. La prueba de que el $\mathsf{GCH}$ mantiene en $L$ da que cada edificable subconjunto de $L_{\omega}$ es un miembro de $L_{\omega_1}$. Asumiendo $V=L$, esto significa que $P(\omega)\subseteq L_{\omega_1}$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar (aunque no veo cómo, y no estoy seguro de que es necesariamente verdadera) de que cada contables ordinal pertenece a $M$, por lo que el $M$ contiene $L_{\omega_1}$. Si esto fuera cierto, entonces $M$ no sólo creen que todo lo real es edificable; que contiene cada edificable real y el ordinal, siendo testigo de su constructibility.
3. $L^M = L_\alpha$ algunos $\alpha$.
4. Si $\sup(\mathrm{ON}\cap M)$ es contable, entonces (desde $M$ es incontable) $M$ debe contener conjuntos de arbitrariamente grande, $L$- rango inferior a $\omega_1$. De nuevo, parece poco probable que $\sup(\mathrm{ON}\cap M)$ podría ser contables, pero no veo la manera de demostrar que no puede ser.

Que nadie vea lo que me falta?

Answer 1

Si la altura del$M$ es contable, a continuación, algunos$V_\alpha^M$ es incontable, pero entonces no puede estar en biyección con un ordinal de$M$. Esta es una contradicción.

De ello se desprende que la altura del$M$ es incontable, pero entonces se hacen, porque$L^M$ es$L_\alpha$ para algunos incontable$\alpha$. Pero$L_{\omega_1}$ ya contiene todos los números reales.