En esta Wikipedia en el artículo se menciona que los números primos de la forma $p \bmod 3 = 1$ split en el anillo de enteros de Eisenstein $\Bbb E$. Por analogía a la de Gauss de los números primos intentaba demostrar que los números primos no existe $a, b \in \Bbb Z$ tal que $p = a^2-ab+b^2$. Pero me tiene atascado en algún lugar. Vamos a tomar los siguientes ingredientes : $\omega, \omega^2$ el habitual $3$thd grado raíces de la unidad, $u$ una raíz primitiva de $\Bbb Z_p$, $\mathfrak{p}$ el ideal de $\Bbb Fp$. Estoy interesado en el anillo cociente $\Bbb F/\mathfrak{p}$. Elegí $p^2$ elementos de la forma $a\omega+b\omega^2$ $0 \leq a,b < p$ como representantes de los cosets y la multiplicación es ejecutado como los números complejos y la aplicación de $\bmod p$ después. No es difícil ver que $r = u^{\frac{p-1}{3}}$ es una raíz de $X^3-1 = (X-1)(X^2+X+1)$$\Bbb Z_p$. No es una raíz de $X-1$ $-r$ es una raíz de $X^2-X+1$. De esto podemos concluir que para $x = \omega +(p-r)\omega^2$ debemos tener de que su norma $N(x) = 0 \bmod p$. Desgraciadamente, no veo cómo esto me permite encontrar un elemento con la norma = $p$.
- Ejemplo 1: $p = 19$
Tenemos $u = 2$ y $r = 2^6 \bmod 19 = 7$, $x = \omega + 12\cdot\omega^2$ pero $N(x) = 7 \cdot 19$. Sé que el ideal generado por a $x$ $\Bbb F/\mathfrak{p}$ $x, 2x, 3x, \ldots, 18x$ y que (por suerte?) $N(3x) = 19$ , de modo que $19 = 3^2 - 3\cdot5 + 5^2$;
- Ejemplo 2: $p = 37$
Tenemos $u = 2$ y $r = 2^{12} \bmod 37 = 26$, $x = \omega + 11\cdot\omega^2$ pero $N(x) = 3 \cdot 37$. Sé que el ideal generado por a $x$ $\Bbb F/\mathfrak{p}$ $x, 2x, 3x, \ldots, 36x$ y que (por suerte?) $N(4x) = 37$ , de modo que $37 = 4^2 - 4\cdot7 + 7^2$;
- Conclusión
Soy capaz de construir un ideal de todos los elementos de los que tienen la norma de que es un múltiplo de a $p$, tengo la fuerte sospecha de que uno de estos tiene exactamente norma $p$, pero no puedo probarlo.
