Símbolo del operador diferencial se transforma como un vector de cotangente

Question

Supongamos que $D=\sum_{|\alpha| \leq k} A_{\alpha}(x)\frac{\partial^{\alpha}}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}$ es un operador diferencial definida sobre el vector de funciones con valores en $\mathbb{R}^n$ (aquí se $A_{\alpha}$ son matrices). Entonces se puede formar la expresión $\sum_{|\alpha| = k} A_{\alpha}(x)\xi_1^{\alpha_1} \cdot ... \cdot \xi_n^{\alpha_n}$, lo que se llama el principial símbolo de $D$. Esto está bien mientras nos ocupamos de tv de caso, es decir, todo lo que tiene lugar en $\mathbb{R}^n$. Pero los operadores diferenciales pueden definirse en el contexto más amplio de (digamos) compacto colectores y arbitraria vector paquete. A continuación, el símbolo está definido por el procedimiento similar, pero sólo localmente. En el nivel global de repente la cotangente del paquete de alguna manera aparece: he escuchado que esto se deduce del hecho de que el principial símbolo se transforma como un $(0,1)$ tensor , más precisamente, de que las variables $\xi$ transformar como este. Estoy un poco confunde lo que significa: yo sé que la transformación de la ley general de tensores de tipo $(p,q)$, pero aquí son fórmulas que involucran a los operadores diferenciales de orden superior (no sólo de primer orden como en campos vectoriales). Así

Cómo puede uno mostrar que las variables $\xi$ transforman como un $(0,1)$ tensor? Cómo puede ser utilizado para definir el símbolo como una función de la cotangente del paquete?

También hay más invariante manera de definir el símbolo, le pregunté acerca de esto hace algún tiempo y he recibido la respuesta sólo a la mitad de mis preguntas (la discusión pertinente puede encontrarse aquí Símbolo de la diferencial del operador sobre el vector de paquetes). Así que también me gustaría preguntar

¿Por qué esta invariante definición que se puede encontrar en esta discusión se produce localmente la expresión $\sum_{|\alpha| = k} A_{\alpha}(x)\xi_1^{\alpha_1} \cdot ... \cdot \xi_n^{\alpha_n}$

Answer 1

He aquí cómo me gusta pensar en ello. Si tenemos una estructura de Riemann, podemos comprobar que un operador diferencial lineal $L$ es coordinar independiente de la escritura como

$$ Lf = \sum_{0\le i \le k} \langle A_i, \nabla^i f \rangle$$

donde $A_i$ es simétrica contravariante $i$-tensor, $\nabla^i$ es el iterado derivada covariante y $\langle,\rangle$ es la natural vinculación de $(0,i)$-tensores con $(i,0)$-tensores. Entonces es completamente natural para emparejar $A_k$ con covectors: para $\xi \in \Lambda^1(TM^*)$ podemos formar la coordenada independiente de la expresión de $$\langle A_k, \otimes^k \xi\rangle= A_k^\alpha\xi_{\alpha_1} \cdots \xi_{\alpha_k}.$$

La estructura de Riemann no es necesario aquí - yo sólo lo uso porque me hace sentir mejor acerca de los más altos derivados. Si cambia la estructura de Riemann, entonces cualquier cambio en $\nabla^k f$ sólo implican menores derivados de $f$ y símbolos de Christoffel, por lo que el principal símbolo se pueden tocar.