Sea $G$ sea un grupo mentiroso finito-dimensional, con una acción transitiva sobre los puntos de una variedad lisa finita-dimensional $S$ . Sea $p$ sea algún punto de $S$ y que $T$ sea el estabilizador de $p$ en $G$ . Supongamos que la acción es compatible con la estructura suave de $S$ en el sentido de que para $g\in G$ , $g:S\rightarrow S$ definido por $x\mapsto gx$ es un mapa suave, y para $x\in S$ , $x:G\rightarrow S$ definido por $g\mapsto gx$ es un mapa suave. (Supongo que se trata de un concepto estándar, pero desconozco su nombre).
Tengo muy poca experiencia en grupos de Lie, pero me parece claro que las fuerzas anteriores $T$ sea un submanifold de $G$ . (Pregunta inicial: ¿es esto correcto?) Suponiendo esto,
Pregunta principal: ¿Es cierto que $\dim S + \dim T = \dim G$ ?
Preguntas secundarias si la respuesta es "sí":
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¿Cuál es el argumento?
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¿Se pueden relajar los supuestos?
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¿Existe un teorema análogo en otros contextos? Por ejemplo, si $G$ y $S$ tienen la estructura de variedades algebraicas sobre algún campo algebraicamente cerrado $k$ ¿podemos sustituir todas las referencias a "mapa suave" por "morfismo" y obtener el mismo resultado?
Motivación: Siéntase libre de ignorar esta parte, pero los comentarios al respecto son bienvenidos. La pregunta se me ocurrió cuando estaba trabajando en un problema (en el texto de introducción a la geometría algebraica de Miles Reid) sobre poner una curva cúbica arbitraria en $\mathbb{P}^2$ posesión de un punto de inflexión en forma normal $y^2z=x^3+ax^2z+bxz^2+cz^3$ . Era necesario hacer uso del hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de $\mathbb{P}^2$ que creo que es una variedad cuasi proyectiva de 8 dimensiones, actúa transitivamente sobre el conjunto de pares (recta, punto sobre esa recta), cuyo conjunto forma una variedad de 3 dimensiones. Sentí curiosidad por saber cómo era el estabilizador de un determinado par (recta, punto sobre esa recta). Basándome en la intuición de la teoría básica de grupos y el álgebra lineal básica, esperaba que fuera una subvariedad de 5 dimensiones del grupo de transformaciones proyectivas (porque $3+5=8$ ), y esto era cierto: por ejemplo si el punto es $(1:0:0)$ y la línea está atravesada por esto y $(0:1:0)$ entonces el estabilizador en cuestión es el grupo cociente del subgrupo (6-dimensional) de triangular superior $3\times 3$ matrices por su centro (unidimensional). Sentí curiosidad por saber si esta relación era cierta en algunas situaciones generales. Me pareció que debería serlo al menos en el contexto del grupo de mentiras, por algo como esto: quizás la derivada del mapa $g\mapsto gx$ mencionado en el primer párrafo tiene como núcleo el espacio tangente de $T$ ? ¿Y entonces el resultado deseado se convierte en el teorema de rango-nulidad? Pero no sé lo suficiente como para convencerme de que esto funciona.
