Valor de$k$ para los cuales integrante toma valor mínimo

Question

Encontrar el valor de$k$ para los que el valor de la integral dada es mínimo:

ps

Podría alguien darme pista sobre cómo empezar esta pregunta? No soy capaz de conseguir la idea inicial.

Answer 1

El denominador de la función integrando es un polinomio palyndromic, de ahí$$ I_k = \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{k-3}\,dx}{q\left(x+\frac{1}{x}\right)}\stackrel{x\to x^{-1}}{=}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{1-k}\,dx}{q\left(x+\frac{1}{x}\right)}=I_{4-k} $ $% con $q(z)=2z^3+4z^2-3z-3=(z-1)(3+6z+2z^2)$. El mínimo para$I_k$ es así:

ps

Answer 2

Insinuación

la integral es convergente$\iff k\in (-1,5)$.