Calcular$\pi$ a mano?

Question

Por toda la Internet la única ecuación de la mano que encontré fue$$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17+\cdots.$ $ Pero esto toma algo así como un millar de iteraciones para llegar a cuatro dígitos, hay una mejor manera de calcular pi a mano?

Answer 1

Por un lado, es relativamente fácil de usar, el desarrollo de la arcotangente, y un Machin-como la fórmula:

Machin: $$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$$

Gauss: $$\frac\pi4=12\arctan\frac1{18}+8\arctan\frac1{57}-5\arctan\frac1{239}$$

He hecho una vez con Machin de la fórmula y el 24 de decimales, en un par de horas. Es recomendable hacerlo a través de dos métodos, para comprobar que no hay error de cálculo.

El arco tangente es

$$\arctan x=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$$

Dado un número de decimales, encontrar dónde truncada por estimar que el resto, y es fácil ya que es una corriente alterna de la serie (por lo que el resto es menor en valor absoluto que el primer término omitido).

Answer 2

Jean-Claude Arbaut nos ha recordado de la identidad $$ \frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}. $$ Vamos a examinar. Usted aprendió en la escuela secundaria que $\tan\dfrac\pi4=1$, y que

\begin{align} \tan(\alpha+\beta) & = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \tag 1 \\[10pt] & =\frac{c+d}{1-cd} \end{align}

Así $$ \arctan+c\arctan d=\alpha+\beta=\arctan\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=\arctan\frac{c+d}{1-cd} $$

De $(1)$ tenemos $$ \tan(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=\frac{c+d+e+f-cde-cdf-cef-def}{1-cd-ce-cf-de-df-ef+cdef} $$ donde $c,d,e,f$ son las respectivas tangentes de $\alpha,\beta,\gamma,\delta$, y por lo tanto $$ \tan(4\alpha) = \frac{4\tan\alpha-4\bronceado^3\alpha}{1 - 6\tan^2\alpha+\bronceado^4\alpha}. $$ Por lo tanto $$ 4\arctan c = \arctan\frac{4c-4c^3}{1-6c)^2+c^4}. $$ Así $$ 4\arctan\frac15 = \arctan\frac{(4/5)-(4/5^3)}{1-(6/5^2)+ (1/5^4)} = \arctan\frac{480}{476} = \arctan\frac{120}{119}. $$ A continuación nos fijamos en \begin{align} & 4\arctan\frac15 - \arctan\frac{1}{239} = \arctan\frac{120}{119} - \arctan\frac{1}{239} \\[15pt] = {} & \arctan\frac{(120/119)-(1/239)}{1+(120/119)(1/239)} \\[15pt] = {} & \arctan\frac{28561}{28561} = \arctan 1 = \frac\pi4. \end{align}

Answer 3

La fórmula más rápida conocida para calcular los dígitos de pi es la fórmula Chudnovsky :$$\frac{1}{\pi}=12 \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (6k)! (163 \cdot 3344418k + 13591409}{(3k)! (k!)^3 640320^{3k+1.5}}$ $ Esta fórmula se utiliza para crear récord mundial para la mayoría de los dígitos de pi . Esta fórmula converge rápidamente y necesita 3-4 términos para dar buena aproximación de pi que es posible con la mano.

Answer 4

Una fácil-a-entender que la mejora de su método, que yo no veo utiliza mucho, es:

$$\pi/6 = \arctan \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \\ = \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{1}{1+x^2} dx \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^{2n+1}}{2n+1} \\ = 3^{-1/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} 3^{-n}}{2n+1}.$$

En consecuencia, hemos

$$\pi = 2 \sqrt{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} 3^{-n}}{2n+1} \\ \aprox 2 \sqrt{3} \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^{n} 3^{-n}}{2n+1} \\ = 2 \sqrt{3} \left ( 1 - \frac{1}{9} + \frac{1}{45} - \frac{1}{189} + \dots \right )$$

Esto le da a cada dígito decimal en un poco menos de $\log_3(10) \approx 2.1$ pasos, siempre se puede estimar con precisión $\sqrt{3}$ a final de multiplicación.

Answer 5

Para algunas ideas rápida convergentes, yo recomiendo mirar esta parte de la página de Wikipedia . Por ejemplo, la primera opción que presentan es $$ \ frac {\ pi} {2} = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {k!} {(2k 1)} = !! \\ \ frac {1} {1} \ frac {1} {3 \ cdot 1} \ frac {2 \ cdot1} {5 \ cdot3 \ cdot1} \ frac {3 \ cdot2 \ cdot 1} {7 \ cdot 5 \ cdot 3 \ cdot 1} \ cdots $$ Teniendo esto al octavo paso nos da$\pi \approx 3.137$