¿Es cierto que$V$ y$H_{\omega_1}$ están de acuerdo en el valor de verdad de$\Sigma_1$ oraciones?

Question

Quiero ver si el siguiente resultado es correcto o no:

Deje $\varphi(x)$ ser una fórmula en $\mathcal{L}_{\mathrm{ZF}}$ con sólo acotado a los cuantificadores tales que $\exists x\,\varphi(x)$ mantiene en $V$, $\exists x\,\varphi(x)$ mantiene en $H_{\omega_1}$.

Escribí una prueba con el siguiente razonamiento:

$\varphi$ es absoluta para todos los modelos transitivos; deje $\exists x\,\varphi(x)$ ser verdad, entonces, $\varphi(a)$ mantiene para algunos $a$. Deje $\vartheta\in\mathbf{ON}$ tal que $a\in V_\vartheta$. Deje $M\prec V_\vartheta$ ser una contables primaria de la subestructura, $\bar M$ ser el colapso de Mostowski ( $\bar M\cong M$ ), $\bar M$ es transitiva y contables, por lo tanto hereditariamente contables, por lo $\bar M\subseteq H_{\omega_1}$, por lo que hay un testigo para$\varphi(x)$$H_{\omega_1}$.

Mis preguntas son: (1) es el resultado por encima de la correcta? (2) Es la prueba dada correcta? (3) Si el resultado es correcto y la prueba no es correcta, lo que sería una correcta prueba para el resultado?

Answer 1

La prueba es correcta, pero me gustaría cambiar el orden de algunas cosas y extender un poco para hacer un poco más claro:

Suponemos que $\exists x\varphi(x)$ que es verdad en $V$, por lo que hay algunos $a$ tal que $\varphi(a)$ mantiene. Deje $\vartheta$ ordinal tal que $a\in V_\vartheta$, ya que el $V_\vartheta$ es transitiva e $\varphi$ es un almacén de fórmula, $V_\vartheta\models\varphi(a)$ y, por tanto,$V_\vartheta\models\exists x\varphi(x)$. Deje $M$ ser una contables primaria submodel de $V_\vartheta$ y deje $\overline M$ ser su colapso de Mostowski, a continuación,$\overline M\in H_{\omega_1}$.

Por último, desde el $M$ es un elemental submodel de $V_\vartheta$, e $M\cong\overline M$ tenemos que $\overline M\models\exists x\varphi(x)$. Así que hay algo de $a'\in\overline M$ tal que $\overline M\models\varphi(a')$, pero de nuevo por la absolutidad de la limitada fórmulas entre conjuntos transitivos, $H_{\omega_1}\models\varphi(a')$ $H_{\omega_1}\models\exists x\varphi(x)$ como quería.

Esencialmente la misma prueba puede ser extendido para mostrar que $H_\kappa\prec_{\Sigma_1}V$, como señaló GME en los comentarios.