Análisis de estabilidad para EDO con entradas no constantes

Question

Para un proyecto, tengo que tratar con sistemas de ODE's con entrada no constante como:

$$\begin{cases}\dot x =I(t)x+x^2\\ \dot y=x\end{cases}$$ donde I(t) es una entrada aleatoria (por ejemplo). En cualquier caso, no tengo $I(t)$ como función explícita. Puede ser aleatoria o puede ser algo que dependa de otro sistema de EDO. Me pregunto si estos sistemas tienen un nombre y hay algún tipo de teoría detrás de ellos (cualquier referencia será muy apreciada).

En concreto, me gustaría poder realizar análisis de estabilidad de algunos de estos sistemas, como calcular equilibrios y su estabilidad, encontrar órbitas periódicas, etc. No estoy seguro de si esto es posible, pero me gustaría saber cuánto se puede saber analíticamente de tales sistemas.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Creo que se llaman ecuaciones diferenciales no autónomas, o sistemas dinámicos no autónomos, o también ecuaciones diferenciales variables en el tiempo (ya que "t" aparece explícitamente en el lado derecho). Hasta donde yo sé, la teoría de la estabilidad de Lyapunov podría aplicarse a casos concretos.

Answer 2

En caso de que $I(t)$ es un proceso ruidoso, se modelizaría como una ecuación diferencial estocástica. La mejor referencia que he encontrado es esto en por Gardiner.

Algunas observaciones:

$x,y$ desacoplar; Así que no habrá órbitas periódicas en $(x,y)$ .

Observando ingenuamente los puntos fijos de este problema; tenemos $\dot{x}=0$ lo que implica $x=0$ o $x=-I(t)$ . Si miramos una pelota del $x=0$ solución entonces su estabilidad está ligada a si $I$ es positivo o negativo. Cuando linealizamos sobre el $x=-I(t)$ solución, encontramos que la estabilidad de ésta es exactamente la opuesta a la $x=0$ solución.

Esencialmente, $x$ con salto de $x=0$ a $x=I(t)$ cuando $I>0$ y vuelta $x=0$ cuando $I<0$ . $y$ actuará como una especie de acumulador y no tendrá puntos fijos a menos que $I<0$ para siempre.