$\sqrt x$ es uniformemente continua

Question

Demostrar que la función $\sqrt x$ es uniformemente continua en $\{x\in \mathbb{R} | x \ge 0\}$ .

Para mostrar la continuidad uniforme debo mostrar para un determinado $\epsilon > 0$ existe un $\delta>0$ tal que para todo $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tenemos $|x_1 - x_2| < \delta$ implica que $|f(x_1) - f(x_2)|< \epsilon.$

Lo que hice fue $\left|\sqrt x - \sqrt x_0\right| = \left|\frac{(\sqrt x - \sqrt x_0)(\sqrt x + \sqrt x_0)}{(\sqrt x + \sqrt x_0)}\right| = \left|\frac{x - x_0}{\sqrt x + \sqrt x_0}\right| < \frac{\delta}{\sqrt x + \sqrt x_0}$

pero encontré una prueba en línea que hizo $\delta = \epsilon^2$ donde no entiendo cómo han llegado Así que, para $\delta =\epsilon^2$ entonces $\sqrt x + \sqrt x_0$ debe $\le$ $\epsilon$ entonces $\frac{\delta}{\sqrt x + \sqrt x_0} \le \frac{\delta}{\epsilon} = \epsilon$ . Pero entonces, ¿por qué $\epsilon \le \sqrt x + \sqrt x_0? $ Ah, creo que ahora lo entiendo sólo por escribir esto y por una pista anterior de Michael Hardy aquí .

Answer 1

Dejemos que $\epsilon > 0.$ Escoge $\delta = \epsilon^2.$ Entonces para $|x-y| < \delta$ tenemos

$$|\sqrt x - \sqrt y|^2 \leq |\sqrt x - \sqrt y||\sqrt x + \sqrt y| = |x-y| < \epsilon^2 \implies |\sqrt x - \sqrt y| < \epsilon. $$

Answer 2

Demostraremos que $f(x) = \sqrt{x}$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}_+$ . De hecho, $[0,1]$ siendo un conjunto compacto, $f$ es uniformemente continua en este intervalo. Por otro lado, en $[1,\infty), f$ es Lipschitz, y por tanto es uniformemente continua. Por lo tanto, ya hemos terminado.

Answer 3

La explicación es del libro de texto de Jonathan Kane "Writing Proofs in Analysis". Que pide al lector que observe el comportamiento de la función $f(x,y)=\frac{\vert x-y\vert}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert$ . El paso natural es restringir el "tamaño" de $\vert x-y\vert$ para que como $x,y\to\infty$ entonces también lo hace $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ que lleva a $\frac{\vert x-y\vert}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\to 0$ . Pero un aparente obstáculo surge cuando $x,y\to 0$ ya que eso haría que el denominador se acercara $0$ también. Sin embargo, el problema desaparece cuando nos damos cuenta de que si $\sqrt{x}+\sqrt{y}\to 0$ entonces $\vert \sqrt{x}-\sqrt{y}\vert\to 0$ o si $\sqrt{x}+\sqrt{y}\to \infty$ entonces $\frac{\vert x-y\vert}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert\to 0$ . Por lo tanto, si el $\epsilon>0$ es tal que $\sqrt{x}+\sqrt{y}<\epsilon$ entonces $\vert\sqrt{x}-\sqrt{y}\vert<\epsilon$ y hemos terminado. Por otro lado, si $\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq\epsilon$ entonces $\frac{\vert x-y\vert}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{\vert x-y\vert}{\epsilon}$ y sólo tenemos que calcular para $ \frac{\vert x-y\vert}{\epsilon}<\epsilon$ para conseguir $\vert x-y\vert<\epsilon^2$ .

Answer 4

Dejamos que $ \epsilon > 0 $

Tenemos que $ | x - y | < \delta $ .

Elegimos que $ \delta = \epsilon^2 $

A continuación, observamos el siguiente resultado.

$ | f(x) - f(y) | = | \sqrt{x} - \sqrt{y} | = \sqrt{ | \sqrt{x} - \sqrt{y}|^2} \leq \sqrt{ | \sqrt{x} - \sqrt{y}| | \sqrt{x} + \sqrt{y} |} = \sqrt{ | x - y | } < \sqrt{\delta} = \epsilon$

$ \square $

Answer 5

Intentemos un enfoque más general utilizando el teorema del valor medio. Sea $f=x^\alpha$ y supongamos $x<y$ . Desde $y^{\alpha}-x^\alpha=(y-x) \alpha c^{\alpha-1}$ para $x<c<y$ . Así que para $0< \alpha<1$ así tenemos

$$y^\alpha-x^{\alpha}\le (y-x)\alpha y^{\alpha-1}\le \alpha(y-x)$$

para $y\ge 1$ lo que demuestra que $f$ es uniformemente continua en $[1, \infty)$ y claramente es uniformemente continua en $[0,1]$ . Por lo tanto, si $0<\alpha<1$ , $f$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ .