Encontrar la ecuación del plano que pasa por un punto y un vector ortogonal

Question

Me he encontrado con esta pregunta que necesito un consejo para.

Encontrar la ecuación (forma general) del plano que pasa por el punto de $P(3,1,6)$ que es ortogonal a los vectores $v=(1,7,-2)$.

Me gustaría ser capaz de hacer esto si dice "paralelo al vector"

Yo le pondría la ecuación como $(x,y,x) = (3,1,6) + t(1,7,-2)$ y partir de ahí.

Yo no se donde puedo conseguir un vector ortogonal. Normalmente cuando estoy en la búsqueda de un vector ortogonal tengo otros dos vectores y hacer el producto cruzado para encontrarlo.

Estoy pensando que de alguna manera tengo que conseguir los tres puntos en el plano, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Alguna sugerencia?

gracias de antemano.

Answer 1

Para un plano en el $\mathbb{R}^3$ $\mathbf{r_0}$ un punto que se encuentra en el plano y $\mathbf{n}$ un vector normal al plano, su ecuación puede ser dado por: $$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0 \quad \mbox{donde} \quad \mathbf{r}=(x,y,z) $$

Para resolver tu pregunta, primero vamos a reordenar la ecuación anterior: $$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}-\mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0}=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=\mathbf{n}\cdot\mathbf{r_0} $$

Sustituyendo valores, se da la siguiente ecuación para el plano en forma Cartesiana: $$ (1,7,-2)\cdot(x,y,z) = (1,7,-2)\cdot(3,1,6) \quad \Rightarrow \quad x+7y-2z = -2 $$

Answer 2

Punto clave:

Un avión con vector normal$(n_1, n_2, n_3)$ tiene ecuación$$n_1 x + n_2 y + n_3 z = k$$ for some $ $ k.

Answer 3

Intente solucionar$(P-r)\cdot v=0$, donde$r =(x,y,z)$.