Por definición equivalencia entre las álgebra de Boole y anillos de Boole

Question

En la página 17, Introducción a las Álgebras Booleanas,Steven Givant,Paul Halmos(2000):

Motivados por este conjunto teórico de ejemplo, se puede introducir en cada El álgebra booleana $A$ de las operaciones de adición y multiplicación muy parecida a diferencia simétrica y la intersección; basta con definir: $$p+q=(p\land q')\lor (p' \land q)$$$$p\cdot p =p \de la tierra q$$ en estas operaciones, junto con el 0 y el 1 (el cero y la unidad de la Álgebra de boole), $A$ se convierte en un anillo Booleano. Por el contrario, cada anillo Booleano puede convertirse en un álgebra Booleana con el mismo cero y la unidad; basta con definir las operaciones de asociarse, reunirse, y el complemento por$$p \lor q = p+q+p \cdot q$$ $$p \land q = p \cdot q$$ $$p'= p + 1$$

A mí me parece, con la ayuda de estos dos conjuntos de ecuaciones, cada proposición que implican el álgebra Booleana se puede traducir en el lenguaje de la Booleano anillo sin dificultad, y viceversa. Pero no es el caso, ya que:

El punto de vista de álgebras Booleanas hace posible dar un simple naturales y la descripción de un ejemplo (debido a Sheffer [54]), que sería muy torpe para tratar desde el punto de vista de anillos Booleanos. Deje $m$ ser un entero positivo, y deje $A$ ser el conjunto de todos los positivos integral divisores de $m$. Definir el valor lógico de la estructura de $A$ por las ecuaciones $$0=1$$$$1=m$$$$p \land q = \mathbb{gcd}\{p, q\}$$$$p \lor q = \mathbb{lcm}\{p, q\}$$$$p'=m/p$$ resulta que, con la distinción de los elementos y operaciones tan definido, Una forma un álgebra de boole si y sólo si $m$ es cuadrado-libre (es decir, m no es divisible por el cuadrado de cualquier prime).

No tengo ni idea de por qué en este caso, "sería muy torpe para tratar desde el punto de vista de la Booleano anillos".

Answer 1

Creo que todo lo que se quiere decir aquí es que la definición de adición en el correspondiente anillo Booleano es un poco menos elegante. No hay ninguna dificultad técnica y pienso "muy torpe" es una exageración (y que se lo están tomando demasiado en serio).

Desde un punto de vista conceptual, hablando de álgebras Booleanas destaca una orden de la teoría del punto de vista (más precisamente, de un entramado teórico de punto de vista) al hablar sobre Booleano anillos enfatiza un álgebra conmutativa punto de vista. Estas diferentes perspectivas son adecuados para diferentes tipos de problemas; por ejemplo, la segunda perspectiva es (en mi opinión) más adecuado para la comprensión de Piedra del teorema de representación. La principal construcción en Piedra del teorema es esencialmente un caso especial de la construcción del espectro de un anillo.

Por lo tanto, uno espera que hablar de las álgebras Booleanas tendrá sentido para acercarse el fin de la teoría de ejemplos como el entramado de los divisores de un squarefree entero positivo, y hablando de anillos Booleanos tendrá sentido para acercarse conmutativa algebraicas ejemplos como el espacio de funciones continuas de un espacio topológico $X$ $\mathbb{F}_2$(con la topología discreta).