Otras maneras de decirlo: ¿Se requiere fe en la adopción de un sistema de axiomas? ¿Cómo se acepta o rechaza un sistema dado de axiomas si no es a través de la fe ciega?
Parafraseando el comentario de Robert Mastragostino, un sistema de axiomas no hace ninguna afirmación que puedas aceptar o rechazar como verdadera o falsa; solo especifica las reglas de un cierto tipo de juego para jugar.
Vale la pena aclarar que la actitud de un matemático moderno hacia las palabras matemáticas es muy diferente de la actitud de un no matemático hacia las palabras ordinarias (y posiblemente también muy diferente de la actitud de un matemático clásico hacia las palabras matemáticas). Una palabra matemática con una definición precisa significa precisamente lo que se definió que significa. No es posible afirmar que tal definición es incorrecta; como mucho, solo se puede afirmar que una definición no captura lo que se pretendía capturar.
Por lo tanto, una interpretación moderna, por ejemplo, de los axiomas de Euclides es que describen las reglas de un cierto tipo de juego. Algunas de las piezas con las que jugamos se llaman puntos, algunas de las piezas se llaman líneas, y así sucesivamente, y las piezas obedecen ciertas reglas. Los axiomas de Euclides no están, desde este punto de vista, afirmando nada sobre la geometría del mundo en el que realmente vivimos, por lo que no se pueden aceptar o rechazar en esa base. Se puede, como mucho, afirmar que no capturan la geometría del mundo en el que realmente vivimos. Pero las personas juegan juegos poco realistas todo el tiempo.
Creo que este es un punto importante que no se comunica bien a los no matemáticos sobre cómo funciona las matemáticas. Para un no matemático, es fácil decir cosas como "pero $i$ no puede ser posiblemente un número" o "pero $\infty$ no puede ser posiblemente un número", y para un matemático lo que esas declaraciones realmente significan es que $i$ y $\infty$ no son partes del juego Números Reales, pero hay todo tipo de otros maravillosos juegos que podemos jugar usando estas nuevas piezas, como Números Complejos y Geometría Proyectiva...
Quiero enfatizar que no estoy usando la palabra "juego" en apoyo de un punto de vista puramente formalista sobre las matemáticas, pero creo que cierto formalismo es una respuesta apropiada a esta pregunta como una forma de clarificar qué es exactamente lo que un axioma matemático está afirmando. Algunas personas usan la palabra "juego" en este contexto para enfatizar que las matemáticas son "sin sentido". La palabra "sin sentido" aquí debe interpretarse con cuidado; no se mean en el sentido coloquial (o al menos yo no lo haría de esta manera). Significa que la sintaxis de las matemáticas se puede separar de su semántica, y que a menudo es menos confuso hacerlo. Pero cualquier persona que crea que los juegos son sin sentido en el sentido coloquial claramente nunca ha jugado un juego...
+1: Aunque es algo desalentador pensar en mi campo de estudio proyectado como un juego, ¡supongo que debería alegrarme por el hecho de que es uno de los juegos más divertidos en los que he tenido la oportunidad de jugar!
Entonces, ¿de qué manera difiere la matemática de una religión? Si las matemáticas pueden compararse con un juego donde los axiomas son las reglas, ¿no podría decirse lo mismo de cualquier religión? Por ejemplo, los 10 mandamientos serían las reglas del cristianismo.
@Gabriel Los 10 mandamientos serían un pequeño subconjunto de lemas compartidos por las religiones judeocristianas. Los axiomas del cristianismo serían más bien "El origen de toda existencia (y el concepto de la existencia misma) es Dios" y "Jesús es Dios".
El papel de los axiomas es describir un universo matemático. Algunas configuraciones, algunos objetos. Los axiomas están ahí solo para decirnos lo que sabemos sobre ese universo.
De hecho debemos creer que ZFC es consistente (o asumir una teoría aún más fuerte, y creer esa es consistente, o asumir... espera, me estoy volviendo recursivo aquí). Pero el papel de ZFC es solo decirnos cómo se comportan los conjuntos en ciertas configuraciones matemáticas.
La gran belleza de las matemáticas es que somos capaces de extraer tanto solamente de estas reglas que describen qué propiedades deben tener los conjuntos.
Ya sea que tú debas aceptar una teoría axiomática o no es decisión tuya. La prueba usual es ver si las propiedades descritas por los axiomas tienen sentido y parecen describir la idea detrás del objeto de manera razonable.
Queremos saber que si un conjunto existe, entonces su conjunto de partes existe. Por lo tanto, el axioma del conjunto de partes es razonable. Queremos saber que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos, lo cual es un requisito muy muy razonable de los conjuntos, la pertenencia y la igualdad. Por lo tanto, el axioma de la extensionalidad tiene sentido.
Lo que debes hacer cuando intentes decidir si aceptas o no algunos axiomas es tratar de entender la idea que intentan formalizar estos axiomas. Si te convencen de que la formalización es "lo suficientemente buena", entonces debes creer que los axiomas son consistentes y usarlos. De lo contrario, debes buscar una alternativa.
Relacionado:
@Andre: Soy una persona fuertemente agnóstica, también en creencias matemáticas. Sin embargo, de alguna manera rechazo todas las formas de existencia (¡incluyendo la mía!). Estoy mucho más cerca de ser un formalista en mis tendencias; sin embargo, de una manera extraña odio cuando la gente mira las matemáticas sintácticamente. ¡Simplemente no es divertido cuando quitas toda la semántica de las matemáticas! :-)
Mientras estoy de acuerdo en que no se necesita fe para aceptar las reglas de cierto juego para poder jugar ese juego, estoy bastante seguro de que, si las reglas del juego, y las consecuencias de jugar según esas reglas, fueran completamente arbitrarias, muchos matemáticos no podrían ganarse la vida haciendo matemáticas.
Por ejemplo, según algunas estadísticas recientes, el matemático es una de las ocupaciones más empleables en los EE.UU, sobre todo en la industria financiera. ¡Si eso no indica que las reglas tienen cierta validez en el mundo real, no sé qué lo hace!
¿Usarían los físicos las matemáticas si fueran completamente incapaces de describir lo que están teorizando y midiendo?
Hay evidencia de que los axiomas pueden ser verdaderos, mucha evidencia.
EDIT: He encontrado el siguiente artículo de R.W. Hamming muy iluminador: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics
Algunas citas:
Los Postulados de las Matemáticas no estaban en las Tablas de Piedra que Moisés Trajo del Monte Sinaí.
también
La idea de que los teoremas se siguen de los postulados no corresponde a una simple observación. Si se encontrara que el teorema de Pitágoras no sigue de los postulados, buscaríamos nuevamente una forma de alterar los postulados hasta que fuera cierto. Los postulados de Euclides surgieron del teorema de Pitágoras, no al revés. Durante más de treinta años he estado haciendo el comentario de que si entraras a mi oficina y me mostrabas una prueba de que el teorema de Cauchy era falso, estaría muy interesado, pero creo que, en última instancia, alteraríamos las suposiciones hasta que el teorema fuera verdadero.
De manera divertida, advierte en la introducción:
Soy muy consciente de que mucho de lo que digo, especialmente sobre la naturaleza de las matemáticas, molestará a muchos matemáticos. Mi enfoque experimental es bastante ajeno a su mentalidad y creencias preconcebidas
Esos son malos argumentos. ¿Qué evidencia tienes de que algún sistema axiomático que hable sobre objetos infinitos sea "verdadero" en algún sentido de la palabra?
Ninguno. Pero el sistema axiomático del cual se pueden derivar estructuras y relaciones que se utilizan a diario en casi todos los esfuerzos humanos ciertamente captura algo de verdad acerca del mundo en el que ocurren esos esfuerzos.
Supongo que se podría argumentar que, dado que se puede llegar a cualquier conclusión que se desee con una contradicción, podría considerarse altamente útil, en cierto sentido. ;-) Por supuesto, quiero decir que no puede tomarse en serio lógicamente.
Hay similitudes en cómo las personas obtienen creencias sobre diferentes temas. Sin embargo, rara vez es una fe ciega.
Existen reglas que guían a los matemáticos en la elección de axiomas. Siempre ha habido discusiones sobre si un axioma es realmente verdadero o no. Por ejemplo, hace no mucho tiempo, los matemáticos estaban debatiendo si el axioma de elección es razonable o no. Las consecuencias inesperadas del axioma, como el principio de buena ordenación, hicieron que muchos pensaran que no es verdadero.
Lo mismo se aplica a los axiomas que se discuten hoy entre los teóricos de conjuntos. Declaraciones teóricas de conjuntos independientes del ZFC. Hay diversas opiniones al respecto, pero no se basan en una creencia ciega. Un buen artículo para leer es Logical Dreams de Saharon Shelah. (Esta es solo una de las opiniones sobre qué axiomas deberíamos adoptar para las matemáticas, otro punto de vista interesante es el de Godel que se puede encontrar en sus obras completas.)
Creo que una razón importante para aceptar la consistencia de sistemas matemáticos como el ZFC es que esta afirmación es refutable (para refutar la afirmación solo hace falta encontrar una prueba de contradicción en ZFC) pero no se ha encontrado tal prueba. En cierto sentido, se puede considerar similar a la física: mientras la teoría esté describiendo correctamente lo que vemos y no conduzca a cosas extrañas, los matemáticos seguirán utilizándola. Si en algún momento notamos que no es así (esto sucedió en el siglo pasado en la teoría ingenua de conjuntos de Cantor, ver La paradoja de Russell) corregiremos los axiomas para resolver esos problemas.
Ha habido varias discusiones en la lista de correo FOM que puedes leer si estás interesado.
En resumen, la adopción de axiomas para las matemáticas no se basa en una "fe ciega".
Es bastante insignificante simplemente requerir consistencia. Después de todo, si ZFC es consistente entonces ( ZFC + not Con(ZFC) ) es una teoría consistente, pero la gente jamás adopta tal teoría como fundamental, aunque a menudo trabajan con ( ZFC + Con(ZFC) ). Hay una razón obvia, que requiere mucho más que consistencia, a saber: solidez aritmética.
No lo es. La consistencia equivale a la $\Pi^0_1$-solidez y muchas afirmaciones importantes son $\Pi^0_1$. ZFC + Con(ZFC) no se adopta porque no parece natural, ahora reemplace Con(ZFC) con un axioma equivalente que parezca natural y que los matemáticos puedan adoptar. Tome por ejemplo PA. Con(PA) es equivalente a la inducción ordinal hasta $\epsilon_0$, la terminación del juego de Hydra, etc. También tenga en cuenta que Con(ZFC) realmente no resuelve un problema, luego necesitas Con(ZFC + Con(ZFC)) y así sucesivamente. De todos modos, este es un punto secundario, el punto es que los axiomas no se eligen por fe ciega.
No estoy seguro de lo que quieres decir con "It is not.". El hecho de que digas que la gente reemplace Con(ZFC) con un axioma equivalente muestra que les importa algo más que la consistencia, ya que la teoría que eligen es la misma que ZFC + Con(ZFC), y nunca eligen una axiomatización que dé la misma teoría que (ZFC + no Con(ZFC)). Tampoco dije que ZFC + Con(ZFC) resuelva algún problema, sino que la clara preferencia por esto se debe al deseo de coherencia aritmética. De hecho, esto concuerda con tu punto de que no es fe ciega, pero tener consistencia está lejos de ser suficiente.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
6 votos
Un sistema de axiomas es usualmente (por ejemplo en el caso de la Teoría de Grupos, Teoría de Anillos, Teoría de Campos Álgebraicamente Cerrados, $\dots$) una lista de propiedades fundamentales de los objetos que se van a estudiar. Así que la asociatividad de la multiplicación simplemente significa que no se estudiarán situaciones no asociativas. Existen una gran cantidad de ejemplos de estructuras que satisfacen estos axiomas, no se necesita fe. La pregunta se vuelve más complicada en algunos casos, especialmente en la axiomatización de la Teoría de Conjuntos.
69 votos
La fe no es necesaria per se, al igual que no se necesita fe para jugar al ajedrez. No crees que esas son las reglas como si estuvieran grabadas en piedra, las defines de esa manera y eliges jugar el juego de acuerdo a ellas. No se requiere fe porque no estás afirmando que un sistema sea mejor o más correcto que otro: simplemente los eliges según lo que te interesa observar.
3 votos
Los axiomas son como un conjunto de reglas: ¿quieres jugar? Acata las reglas del juego, o si no, no juegues. Otra diferencia con la fe y las creencias religiosas es que hasta el momento nadie ha sido condenado al infierno eterno, sufrimiento inefable o cosas por el estilo por no aceptar las reglas de la Geometría Euclidiana, ZFC o los Axiomas de Peano...de hecho, ¡nadie ha sido siquiera condenado a muerte por eso, aunque lo contrario sí ha ocurrido!
1 votos
@DonAntonio: dada la cantidad de psicópatas que inevitablemente ocurrirá entre tanta gente en el mundo, no me sorprendería si alguien realmente fuera condenado a muerte por eso.
0 votos
Tomo fe para significar asumir la verdad de algunas reglas o conceptos, sin la capacidad de ni verificar ni contradecirlos. Por ejemplo, la fe en la vida extraterrestre. A menos que podamos probar/refutarlo (mostrando una instancia de aliens, o visitando exhaustivamente cada rincón del universo sin encontrarlos), sigue siendo una creencia; no puedes demostrar/negar lo que implica. Pero cuando asumes la verdad de algún sistema axiomático, tendrías la capacidad de demostrar que es consistente o inconsistente. Tendrías la habilidad de calcular y jugar con los objetos matemáticos que la teoría implica.
2 votos
Esto me recuerda a una discusión que tuve una noche en la preparatoria con un amigo (no matemático). Su posición era que las matemáticas eran "todo acerca de suposiciones" (puede ser que estuviera decepcionado por una clase de física demasiado difícil, si tengo que psicoanalizar desde mi sillón...). Mi posición era que se trata de explorar hipotéticos abstractos.
1 votos
@DonAntonio: ¡Recuerda Hipasus de Metaponto!
0 votos
De hecho @PerManne, sin embargo, este caso está en la zona fronteriza de la leyenda y a veces se dice que Hippasus fue quien se ahogó, otras veces que fue quien hizo el asesinato...de todos modos, han pasado 2,500 años y mientras tanto nosotros, los matemáticos, nos hemos convertido más o menos en seres humanos decentes, mientras que la gente sigue siendo asesinada en nombre de este o aquel dios, una tradición que ya dura más de 2,500 años... y yo, por lo menos, no puedo ver un fin a esto en el futuro previsible.
3 votos
Si estás interesado en aspectos fundamentales, entonces podrías encontrar de interés las exposiciones de filósofos matemáticos profesionales, por ejemplo, Penelope Maddy's Believing the Axioms I y part II
0 votos
@Bill, gracias por los enlaces. Siempre he encontrado los artículos de Maddy agradables de leer.
0 votos
Las creencias pueden ser verdaderas o falsas, pero las matemáticas son una gran tautología. No hay nada que se deba aceptar por fe.
0 votos
En casi todos los sentidos posibles.
0 votos
¿Esta respuesta responde a tu pregunta? ¿En qué sentido son verdaderos los axiomas matemáticos?