¿Nueva función elemental?

Question

En el Número de febrero de 2000 de la revista FOCUS, un breve artículo sugiere que la Lambert W podría introducirse en el plan de estudios como nuevo función elemental diciendo: "... se puede argumentar a favor de concederle el mismo respeto que a los trascendentales tradicionales del cálculo". Como la inversa de $xe^x$ La W de Lambert es fácil de entender, sus propiedades son bastante sencillas y se ha utilizado en una amplia gama de aplicaciones.

¿Hay otras funciones que le parezcan buenas candidatas para introducir más ampliamente en los planes de estudios de matemáticas y que sean interesantes, fáciles de entender y de amplia aplicación?

Answer 1

Creo que uno de los candidatos puede ser el función de error . Se define como

$$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^xe^{-t^2}\,dt$$

Es fácil de entender como una integral de $e^{-x^2}$ . La constante $2/\sqrt\pi$ proviene del hecho de que

$$\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}{2}$$

y obliga a la función a tener límite en $\infty$ igual a $1$ . Su derivada es elemental, a saber

$$\operatorname{erf}'(x)=\frac{2e^{-x^2}}{\sqrt\pi}$$

y su integral puede expresarse utilizando la función elemental y esta misma función,

$$\int\operatorname{erf}(x)\,dx=x\operatorname{erf}(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi}+C$$

Se utiliza en probabilidad y cálculo.

Answer 2

Existe una clase de funciones gamma diferenciadas (DGF) que básicamente pueden expresarse mediante derivadas de la función Gamma. Incluyen la función Gamma, la función Polygamma, y la función Hurwitz Zeta generaliza aún más la clase a órdenes fraccionarios.

Lo que ocurre con esta clase de funciones es que se comportan como "casi elementales". Estos son los argumentos de este punto:

1. Los DGF generalizan los polinomios de Bernoulli a órdenes negativos, en particular, $\psi^{(1)}(x)=B_{-1}(x)$ si definimos los polinomios de Bernoulli mediante la Zeta de Hurwitz. Con las funciones potencia son las funciones recíprocas las que las generalizan a órdenes negativos, y consideradas elementales.
2. La antiderivada de la función recíproca $\frac1x$ es logaritmo, una función elemental. La antidiferencia de la misma función es poligamma $\psi(x)$ un DGF.
3. $\psi(x)-\psi(-x)$ es elemental, mientras que $\psi(x)+\psi(-x)$ es un DGF. Las series de Taylor de estas funciones sólo difieren en la paridad. También, $\frac1{\pi}\psi(1-\frac x\pi)-\frac1{\pi}\psi(\frac x\pi)=\cot x$ .
4. Debido al teorema del digamma de Gauss, la función digamma de un argumento racional puede expresarse en términos de la constante de Euler y un número finito de funciones elementales: $$\psi\left(\frac{r}{m}\right) = -\gamma -\ln(2m) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{r\pi}{m}\right) +2\sum_{n=1}^{\left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nr}{m} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{m}\right)$$

Dadas las consideraciones anteriores, los DGF me parecen "todo menos elementales" o "casi elementales".