estructura de anillo de cohomología conf ($\mathbb{R}^m$, 3)

Question

Estoy intentando calcular el (integral) cohomology estructura de anillo de la 3 el espacio de configuración de $\mathbb{R}^m$ y se han topado con un par de dudas.

El uso de un resultado de Fadell y Neuwirth, tenemos que conf($\mathbb{R}^m$, 3) es el espacio total de la fibration:

p: conf($\mathbb{R}^m$, 3) $\rightarrow$ conf($\mathbb{R}^m$, 2) dado por la obvia mapa en los 2 primeros factores con fibra de homeomórficos a $\mathbb{R}^m - Q$ donde $Q$ es de dos puntos.

Desde $\mathbb{R}^m - Q $ es homotopy equivalente a una cuña de dos $m-1$ esferas, se ha cohomology grupos $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}\bigoplus \mathbb{Z}$ dimensiones de $0$ $m-1$ respectivamente (Mayer-Vietoris).

Del mismo modo conf($\mathbb{R}^m$, 2) es homotopy equivalente a $S^{m-1}$ cuando un mapa es $(x,y) \rightarrow \frac{(x-y)}{|x-y]}$. Suponiendo trivial local coeficientes (donde el único problema que podría surgir al $m=2$ ya que de lo contrario la base se conecta simplemente a) podemos aplicar la Serre espectral de la secuencia con $E_2^{p,q} = H^p(S^{m-1}, H^q(\vee_2 S^{m-1} )) $.

Una aplicación de la UCT (ya que todo es gratis) le da a ese $E_2^{p,q} = H^p(S^{m-1}) \otimes H^q(\vee_2 S^{m-1} ) $

Entonces tenemos que $E_2 = E_{\infty}$ ya que sólo tenemos cohomology en grado $0$ $m-1$ para la base y fibra, y por lo tanto no puede ser no-trivial diferenciales.
Esto me lleva a un par de preguntas.

1. En general el $E_{\infty}$ producto de la estructura no determina la estructura del producto en el espacio total (véase, por ejemplo, p 29 SSAT ), pero funcionan las cosas en esta instancia, ya que todo es gratis $\mathbb{Z}$ módulo y de finito tipo? ¿Qué es una condición necesaria y suficiente en el $E_{\infty}$ estructura de la página para garantizar que el producto de las estructuras coinciden?

2. Sé que $H^*(S^{m-1}) = \mathbb{Z}[a_1]/(a_1^2)$ donde $|a_1| = m-1$ y $H^*(S^{m-1} \vee S^{m-1}) = \mathbb{Z}[a_2]/(a_2^2) \times \mathbb{Z}[a_3]/(a_3^2)$ donde $|a_2|=|a_3| = m-1$.

   ¿Esto simplemente implica que $H^*($conf($\mathbb{R}^m$, 3) ) $\simeq \mathbb{Z}[a_1]/(a_1^2)$ $\otimes \mathbb{Z}[a_2]/(a_2^2) \times \mathbb{Z}[a_3]/(a_3^2)\simeq \mathbb{Z}[a_1,a_2,a_3]/(a_1^2=a_2^2=a_3^2)$? Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Esto es realmente un comentario, pero me salió corriendo de la habitación (y no doy garantía de que es correcta)

No debería haber alguna relación entre los generadores? Si he hecho el espectro de la secuencia correctamente, hay un $\mathbb{Z}$ $q=0$ fila$p=0$$p=m-1$. En el $q=m-1$ fila hay un $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$$p=0$$p=m-1$. No estoy seguro de que no puede ser de cualquier extensión de los problemas de aquí, y así sabemos que la cohomology como abelian grupos:

$$H^p(\text{Conf}(\mathbb{R}^3,3);\mathbb{Z}) \simeq \begin{cases} \mathbb{Z} &\text{ if } p=0 \\ \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} &\text{ if } p=m-1 \\ \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} &\text{ if } p=2(m-1) \end{casos} $$

Por la multiplicidad de la secuencia espectral creo que deberíamos debe tener $E_2^{0,m-1} \otimes E_2^{m-1,0} \simeq E_2^{m-1,m-1}$ Así que si denotamos los generadores de la $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ en la posición $(0,m-1)$ $\alpha,\beta$ e las $\mathbb{Z}$ $(m-1,0)$ $\gamma$ no hemos de conseguir que el $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ $(m-1,m-1)$ es generado por $(\alpha \otimes \gamma,\beta \otimes \gamma)$?

Este papel parece útil. Tomo nota de los comentarios hay que $H^{2(m-1)}(\text{Conf}(\mathbb{R}^3,3);\mathbb{Z})$ es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$ módulo se extendió por $A_{21}A_{31}$$A_{31}A_{32}$.

Un último lugar que podría ayudar es esta monografía por Cohen,Lada y Mayo. Ver específicamente la página 250.

Espero que esto sea de ayuda!

Answer 2

Un par de comentarios.

En primer lugar, Juan S es correcto en evaluar el estado final de la Serre espectral de la secuencia.

Segundo, con respecto a su punto de (1) la cohomology estructura de anillo es, en este caso, no determinado por la multiplicación en el $E_\infty$ plazo, a pesar de que todo es finito tipo más de $\mathbb{Z}$. Específicamente, usted tiene dos clases de $\alpha, \beta \in (0,m-1)$, y en el espectro de la secuencia tiene que $\alpha \cup \beta = 0$ debido a que las tierras en el grupo cero. Sin embargo, esto sólo se garantiza que el producto es cero "hasta la filtración." Usted tiene la posibilidad de que $\alpha \cup \beta$ se convierte en alguna combinación lineal de $\alpha \cup \gamma$ $\beta \cup\gamma$ en la real cohomology anillo.

Uno de los más grandes banderas rojas que esto realmente sucede es que las relaciones que usted está consiguiendo no se ven simétrica. La acción del grupo simétrico en este espacio de configuración permutes $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$, y así no puede existir $\alpha \beta = 0$ cuando ninguno de $\alpha \gamma$$\beta \gamma$.

En esta línea, el cohomology anillo es estrictamente menor rango que el candidato que se lista en el punto (2).

Una forma de obtener la real cohomology anillo es como sigue. Hay un mapa de $$conf(\mathbb{R}^m,3) \to conf(\mathbb{R}^m,2)^3 \simeq (S^{m-1})^3$$ que envía a$(x,y,z)$$((y,z), (x,z), (x,y))$. Este es un mapa de paquetes y respeta la acción del grupo simétrico; sobre cualquier punto de $(x,y)$, es homotopy equivalente a la inclusión $S^{m-1} \vee S^{m-1} \to S^{m-1} \times S^{m-1}$. Esto le da un mapa de Serre espectral de la secuencia en la dirección opuesta a la que se surjective. El examen de esto tiene las siguientes consecuencias.

• El mapa de $H^*((S^{m-1})^3) \to H^*(conf(\mathbb{R}^m,3))$ es surjective, donde el primero es el exterior de álgebra $\mathbb{Z}[a_1,a_2,a_3]/(a_i^2)$ lista en (2).

• Este mapa es un isomorfismo en grado $m-1$, y la acción de la $\Sigma_3$ es dual a una permutación de acción en $\mathbb{Z}^3$. Usted puede elegir los generadores, de modo que la permutación $\sigma$ envía $a_i$$a_{\sigma^{-1} i}$. (Nota: Cohomology es contravariante así que este es un derecho de acción.)

• El núcleo en el grado $2(m-1)$ $\Sigma_3$- equivariant de rango $1$, y la imagen es libre de rango $2$. Esto obliga a que el kernel sea generado por $(a_1 a_2 + a_1 a_3 + a_2 a_3)$.

Así que el cohomology anillo es en realidad $$ \mathbb{Z}[a_1,a_2,a_3]/(a_1^2, a_2^2, a_3^2, a_1 a_2 + a_1 a_3 + a_2 a_3). $$ (Esto es en realidad el disco duro. Usted puede utilizar este resultado para obtener un control sobre la configuración de los espacios de más puntos en $\mathbb{R}^m$.)