¿Por qué esta $u$-substitución cero un mi integral?

Question

He aquí cómo comprendo $u$-la sustitución de trabajo por una integral. Esencialmente, consiste en la sustitución de los diferenciales de expresiones, que permite cancelar los términos de el integrando.

Cuando vamos a cambiar los límites de integración, que esencialmente evaluar $u(x)$ a asegúrese de que el valor sigue siendo el mismo.

$$ \begin{gather*} \int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx \\ \text{let %#%#% so %#%#% and %#%#%} \\ \int_{u=1}^{u=5} \frac{\color{red}{x}}{\sqrt{u}} \, \left( \frac{1}{2\color{red}{x}} du \right) \\ \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5} u^{-1/2} \, du \\ \frac{1}{2} \left( \left. 2\sqrt{u} \ \right|_{u=1}^{u=5} \right) \\ \sqrt{5} - 1. \end{reunir*} $$

Eso es todo bien y bueno. Pero puedo elegir algo para mi $u = 1 + x^2$-expresión. Lo que si he querido dejar de $du = 2x \, dx$? A continuación, los límites de integración se $dx = \frac{1}{2} du / x$$ y así, toda la integral se convierte en cero.

Claramente esto no es válido. El resultado correcto de la integral es, de hecho,$u$. Pero lo que me estoy perdiendo aquí? ¿Por qué no puedo establecer la integral como esta?

Mis pensamientos:

• Esta es una integral definida, por lo que no hay "$u = (x)(x - 2)$" constante de integración del negocio. (¿Correcto?)
• Incluso si usted termina encima de tener algunos $$\int_{u=(0)(0-2)}^{u=(2)(2-2)} \implies \int_{u=0}^{u=0}$s en su expresión debido a que el $\sqrt{5} - 1$de sustitución de no cancelar, eso no importa, porque aún está la integración de más de un dominio vacío. (¿Correcto?) Además, también se puede obtener este "trabajo" con $+ C$$x$, y que puede ser expresado como $u$, lo cual es completamente en términos de $\int_{y=-r}^{y=r} (r^2-y^2)^{-1/2}y^2\,dy$. (Creo?)
• ¿Tiene algo que ver con las múltiples soluciones de ecuaciones cuadráticas?
• ¿Cómo puedo saber cuando estoy haciendo esto por error? Parece que podría ser bastante sutil.

Answer 1

Ciertamente tienes el derecho de hacer cualquier cambio de variable que se desea. El problema con el uso de $u=x(x-2)$ es que tienes que resolver $x$ en función de $u$:

$$u=x^2-2 x \implies x = 1 \pm \sqrt{1+u} \implies dx = \pm \frac{du}{2 \sqrt{1+u}} $$

Debido a que $u(x)$ es una cuadrática, $x(u)$ es multivalor con dos ramas. (Esto es por eso que fueron capaces de llegar a cero en los límites inferiores y superiores). Usted sub diferentemente a lo largo de cada rama. Por lo tanto,

$$\int_0^2 dx \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac12 \int_0^{-1} du \frac{1-(1+u)^{-1/2}}{\sqrt{3+u-2 \sqrt{1+u}}} + \frac12 \int_{-1}^0 \frac{1+(1+u)^{-1/2}}{\sqrt{3+u+2 \sqrt{1+u}}}$$

.. y tomar desde allí.

Answer 2

El mal resultado es debido a la ilegítima opción de cambio de función variable $\phi(x)=x(x-2)$. Existen diferentes formulaciones de la fórmula de sustitución para la integración, pero generalmente la inyectabilidad de $\phi$ es un requisito.

Desafío Cambie el límite inferior de integración de $0$ $-1$. Ahora la función $\phi(x)=x^2+1$ ya no es inyectiva sobre este intervalo. El desafío se trata de si todavía puede utilizar la sustitución $u=x^2+1$ para encontrar la respuesta correcta.