Me gustaría mostrar que un conjunto denso en $[0,1]$ no es igual a $[0,1]$ sin teoría de la medida

Question

Considere el siguiente conjunto de $$ I_{n,j}=[\frac{n}{j}-\frac{1}{4^{n+j}},\frac{n}{j}+\frac{1}{4^{n+j}}]$$ for some integers $n$ and $j$. Ahora vamos a $$A:=\bigcup_{n\geq 1}\bigcup_{j\geq1}I_{n,j}$$

El objetivo de un poco de ejercicio en el que estaba trabajando era mostrar que la $A$ es denso en $[0,1]$ y en el próximo paso para mostrar que $[0,1]\setminus A\neq \emptyset$.

La primera parte sigue directamente como racionales son densos en $\mathbb R$ y Me las arreglé para mostrar la segunda parte por el uso que el Lebesgue-medida de $A$ es estrictamente inferior a 1.

Así que la pregunta apareció si es posible mostrar $[0,1]\setminus A\neq \emptyset$ sin teoría de la medida y, en particular, si es posible encontrar un elemento explícito en $[0,1]$ que no está en $A$.

Agradecería cualquier ayuda.

Gracias de antemano!

Answer 1

Por ejemplo, $1/\sqrt{2} \notin A$. De hecho, para cada racional $n/j$ hemos $$ \left|\frac{n}{j}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right| \, \left|\frac{n}{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right| = \frac{|2n^2-j^2|}{2j^2}\ge \frac{1}{2j^2} \tag1$$ No hay ningún punto a tener en cuenta $n>j$. Por eso, $n/j\le 1$, por lo tanto $\left|\frac{n}{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right|\le 2$. De ello se sigue que $$ \left|\frac{n}{j}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right|\ge \frac{1}{4j^2} \tag2$$ Es fácil demostrar (por inducción, por ejemplo) que $j^2<4^j$ todos los $j\ge 1$. Por lo tanto, para $ j\ge n\ge 1$ $$ \left|\frac{n}{j}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right|\ge \frac{1}{4j^2} > \frac{1}{4^{n+j}} \tag3$$