¿Qué nivel de hacer inferencias sobre la media del grupo en un análisis Bayesiano jerárquico?

Question

(Esta pregunta es un poco relativa a una pregunta anterior de la mina, sino que se trata de entre sujetos de comparación, mientras que esta pregunta es específicamente acerca de hacer inferencias de la media del grupo.)

Al analizar los datos mediante un modelo jerárquico Bayesiano a veces no quieren hacer inferencias sobre los sujetos individuales, sino más bien en el nivel de grupo (por ejemplo, para las niñas mayores de 10 años los más creíble la puntuación de la prueba es de 100 con una credibilidad de 95% intervalo de [75, 125]). Cuando la construcción de un modelo de uso de un MCMC marco, por ejemplo ENTRECORTADO/BUGS, veo dos maneras de llegar en el grupo de nivel medio. Tampoco puedo usar la media de la previa ($\mu_\text{gr}$ en el diagrama a continuación). en la media de la distribución de muestreo o, para cada iteración del algoritmo MCMC puedo calcular la media de todos los sujetos medio (que es la media de todos los $\mu_\text{subj}$ en el diagrama de abajo). Si quiero hacer inferencias acerca de la media del grupo de cuál de estas dos alternativas debo usar?

Como una prueba para ver lo que sucede cuando se usa la de las dos alternativas me encontré con un modelo con datos simulados.

Aquí está una Kruschke estilo diagrama de un modelo jerárquico donde calculamos la media de $\mu_\text{subj}$ para un número de sujetos con una distribución normal de grupo antes de en $\mu_\text{subj}$, con una media de $\mu_\text{gr}$.

Aquí es ENTRECORTADO y R código para especificar el modelo anterior y la simulación de los datos de 50 temas en los que cada sujeto obtiene una media que es de forma aleatoria normalmente distribuida con $\mu=0$$\sigma=1$. Las batallas contra la modelo se ejecuta para 5000 iteraciones y cada iteración de la media de la previa, group_mu, y la media calculada de los sujetos, mean_mu <- mean(mu[]), se guarda.

library(rjags)
model_string <- "model {
  for(i in 1:length(y)) {
    y[i] ~ dnorm( mu[subject[i]], precision[subject[i]])
  }

  mean_mu <- mean(mu[])
  for(subject_i in 1:n_subject) {
    mu[subject_i] ~ dnorm(group_mu, group_precision) 
    precision[subject_i] <- 1/pow(sigma[subject_i], 2)
    sigma[subject_i] ~ dunif(0, 10)
  }

  group_mu ~ dunif(-10, 10)
  group_precision <- 1/pow(group_sd, 2)
  group_sd ~ dunif(0, 10)
}"

# Creating fake data
n <- 10
n_subject <- 50
subject_mean <- rnorm(n_subject, mean=0, sd=1)
y <- rnorm(n * n_subject, mean=rep(subject_mean, each=n), sd=1)
subject <- rep(1:n_subject, each=n)

# Running the model with JAGS
jags_model <- jags.model(textConnection(model_string),
                         data=list(y=y, subject=subject, n_subject=n_subject), 
                         n.chains= 3, n.adapt= 1000)
update(jags_model, 1000)
jags_samples <- jags.samples(jags_model, 
                             variable.names=c("group_mu", "mean_mu"),
                             n.iter=5000)

Mirando cuantiles y boxplots de mean_mu y group_mu muestran que ambos están centrados alrededor de la verdadera grupo significa, pero difieren mucho en propagarse con la credibilidad de 95% intervalo de ser mucho más amplia para group_mu de de mean_mu.

quantile(jags_samples$mean_mu, c(0.025, 0.5, 0.975))
##       2.5%         50%       97.5% 
##  -0.10804263 -0.00741235  0.09216414 
quantile(jags_samples$group_mu, c(0.025, 0.5, 0.975))
##        2.5%          50%        97.5% 
##  -0.262734656 -0.008996673  0.248624938
boxplot(jags_samples, outline=F, horizontal=T)

Así que si quiero hacer inferencias acerca de la media del grupo de distribución que debo usar, group_mu o mean_mu? Para mí esta no es clara, y alguna explicación de por qué es preferible a la otra es muy apreciada!

Answer 1

Lo que ha ocurrido es que las estimaciones de la persona sujeta significa que se han reducido hacia la media del grupo, causando la enfermedad de transmisión sexual. desviación del tema en los medios (y por tanto el de la media de la asignatura de medios) para ser "demasiado pequeño". Esta contracción es parte y parcela de la jerarquía de enfoque Bayesiano. El group_mu valores son los que usted desea.

Usted puede ver de una forma más empírica manera que el group_mu valores son correctos mediante la comparación de la anchura de la observó creíble del 95% de intervalo de su cuantil resumen a la anchura del intervalo de confianza que sería de esperar en estadística clásica si había observado directamente el 50 verdadero sujeto medios. En este caso, que sólo $1.96/\sqrt{50}$ o +/- 0.28, que se corresponde bastante bien a la cuantil resultados que se muestran arriba para group_mu: (-0.26,+0.25). Ya que no se puede hacer mejor de lo que podría si en realidad había observado el 50 sujetos medio, se deduce que el intervalo creíble no debería ser mucho menor que el intervalo de confianza (como no eres de añadir ningún sustancial de información previa a la probabilidad.) Claramente la (-0.1, 0.09) cuantiles de la alternativa significa que están muy cerca de 0, por esta comparación.

De hecho, usted puede utilizar la proporción de la ets. desviación de la media de la estimación de los sujetos medios para la enfermedad de transmisión sexual. desviación de group_mu como un índice de lo mucho que la contracción ha tenido lugar. (No es la única métrica; sólo estoy señalando que desde que usted está calculando ambos de todos modos.) Si usted tiene una muy pequeña proporción, que indica que, en un sentido heurístico, que la jerarquía de parte de la modelo no añade mucho, y suponiendo que todos los medios son los mismos puede ser una alternativa plausible. Por el contrario, si el coeficiente es cercano a uno, que también indica que la jerarquía de parte de la modelo no añade mucho, y el tener un "efectos fijos" modelo para el sujeto significa probablemente sería casi tan bueno - preguntas de los enfoques de modelado, etc. a un lado.

Answer 2

Si usted desea hacer inferencias sobre el nivel de grupo, a continuación, su distribución es de interés $p(\mu_{gr}|Y)$. La simple razón es que el $\mu_{gr}$ es en realidad una variable aleatoria en el modelo generativo. Mean_mu no es una variable aleatoria en el modelo generativo, es una estadística que sea tu sampler que pasó de generar o que se pasó a calcular. Además, mean_mu es en realidad un punto de estimación de la distribución posterior de la verdadera grupo decir, su distribución de interés. Las estimaciones puntuales proporcionar menos información que la distribución completa, y ya tiene la distribución completa en sí misma (o al menos un gran número de muestras que se aproximan a ella).