Un contraejemplo

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ localmente integrable función. Quiero comparar estas dos condiciones $$\limsup_{r\to + \infty}\frac{r}{\int_{-r}^r f(x)dx}<+\infty. \tag{1}\label{1}$$ y $$\limsup_{r\to + \infty}\frac{r^{\frac{1}{p}}\left(\int_{-r}^r f(x)^qdx\right)^\frac{1}{q}}{\int_{-r}^r f(x)dx}<+\infty, \tag{2}\label{2}$$ con $p,q>1$ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Podemos ver que si $f$ es limitada, a continuación, $\eqref{1}$ es más fuerte que el $\eqref{2}$, porque tendríamos $$r^{\frac{1}{p}}\left(\int_{-r}^r f(x)^qdx\right)^\frac{1}{q}\leq M 2^\frac{1}{q}r.$$ Ahora si $\inf_{s\in\mathbb{R}}f(s)=c>0$, $\eqref{2}$ más fuerte que el $\eqref{1}$. Porque $$c\ 2^\frac{1}{q} \ r\leq r^{\frac{1}{p}}\left(\int_{-r}^r f(x)^qdx\right)^\frac{1}{q}.$$ Por supuesto, si tenemos $c\leq f(s)\leq M$$c>0$, $\eqref{1}$ $\eqref{2}$ son equivalentes.

He encontrado que, por ejemplo,$f(x)=e^x$, $f$ satisface $\eqref{1}$ pero no $\eqref{2}$. No sé si puedo encontrar una función de $f$ que satisface $\eqref{2}$ pero no $\eqref{1}$. Buscar, $f$ necesariamente debe satisfacer $\inf_{s\in\mathbb{R}}f(s)=0$.

Answer 1

Siempre $-\frac{1}{q}<\alpha<0$, la función de $f(x)=x^\alpha \cdot 1_{(1,\infty)}$ hace lo que quiere.

En efecto, desde el $\alpha +1>0$$\alpha<0$, $$\frac{r}{\int_{-r}^rf(x)dx}=(\alpha+1)\frac{r}{r^{\alpha+1}-1}\sim \frac{\alpha + 1}{r^\alpha}\longrightarrow +\infty $$

y desde $\alpha q+1>0$,$$ \frac{r^\frac{1}{p} \left( \int_{-r}^r f(x)^qdx \right)^\frac{1}{p}}{\int_{-r}^rf(x)dx}= \frac{\alpha +1}{(\alpha q+1)^\frac{1}{q}}\frac{r^\frac{1}{p}\left(r^{\alpha q+1}-1\right)^\frac{1}{p}}{r^{\alpha+1}-1}\sim \frac{\alpha +1}{(\alpha q+1)^\frac{1}{q}} \frac{r^\frac{1}{p}r^{\alpha +\frac{1}{q}}}{r^{\alpha+1}}=\frac{\alpha +1}{(\alpha q+1)^\frac{1}{q}} .$$