Cómo demostrarlo $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ no es localmente compacto directamente?

Question

Cómo demostrarlo $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ no es localmente compacto directamente? Es decir, ¿cómo construir una cubierta de un vecindario arbitrario (p. ej. $[0, 1] \cap \mathbb{Q}$ ) que no tenga una subcubierta finita?

Answer 1

Sea $X:= \mathbb Q \cap [0,1]$ . Demostraré que si $U \subset X$ entonces $U$ no tiene cierre compacto. Dado que $X$ es hausdorff esto demuestra que no es localmente compacta. Basta demostrar que para cualquier épsilon una bola abierta en X no tiene cierre compacto. Dado $x \in X$ y algunos $\epsilon>0$ elige un irracional $y \in B(x,\epsilon)$ . Establecer $a=x-\epsilon$ et $b=x+\epsilon$ es una cubierta abierta de $B(x,\epsilon)$ sin subcubierta finita:

$$\mathcal U := \left\{ \left( \left(a,y-\frac{1}{n}\right) \cup \left(y+\frac{1}{n},b\right) \right) \cap \mathbb Q \mid n \in \mathbb N\right\}.$$

Para ver esto tenga en cuenta que $\mathcal U$ es una cobertura anidada y que para cualquier $n$ no cubre $B(x,\epsilon)$ .

Answer 2

Elegir punto irracional $i$ en $[0,1]$ . Toma la clase $O = \{[0, q) \cup (r, 1] \quad: \quad(q,r) \in \mathbb Q^2 \cap(0,1)^2,\quad q < i < r\}$ como su cobertura. Ahora tenemos una cobertura para los racionales en $[0,1]$ sin una subcubierta finita, demostrando que el espacio no es compacto.

En aras del rigor:

$O$ es una cubierta abierta en la topología del subespacio relativa al conjunto compacto $[0,1]$ .

$\cup O = [0,1]- \{i\}$ mostrando que, de hecho, cubrimos los racionales en $[0,1]$ .

Consideremos la unión de cualquier subcubierta finita: $\cup_{k=1}^N[0,q_k)\cup(r_k,1]$ donde $(q_k,r_k) \in \mathbb Q^2 \cap(0,1)^2,\quad\mathrm{and}\quad q < i < r$ . Este conjunto es equivalente a $[0,\mathrm{max}_k\{q_k\})\cup(\mathrm{min}_k\{r_k\},1]$ donde $k$ se entiende que oscila entre $1$ a $N$ .

Concluimos que cualquier subcubierta finita pierde los puntos del intervalo $[\mathrm{max}_k\{q_k\},\mathrm{min}_k\{r_k\}]$

En general, elija cualquier barrio de $\mathbb R$ . Debemos ser capaces de encontrar un segmento $(a,b)$ dentro del barrio. Repita el argumento utilizando el segmento $(a,b)$ en lugar de $[0,1]$ .

Concluimos que cualquier vecindad de $\mathbb R$ tiene una cubierta abierta para la cual ninguna subcubierta puede cubrir los racionales en esa vecindad.

Answer 3

Si $\mathbb Q$ fueran localmente compactas, entonces para cada q racional seríamos capaces de encontrar una 'campana (vecindad) $U_q$ de q en la que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Pero si tomamos un irracional x en $U_q$ (que siempre existe, ya que los irracionales son densos en $\mathbb R $ ), entonces una secuencia ${x_n}$ aproximando $x$ no tendrá una subsecuencia convergente. (por ejemplo, si el intervalo contiene $\sqrt 2$ no puede existir una secuencia de racionales que converja a $\sqrt 2$ ), porque los racionales no son de orden completo.

Answer 4

Usemos que si un espacio (aquí $[0,1]\cap\mathbb Q$ ) tiene una partición abierta infinita, entonces no es compacta ya que la partición es una cobertura abierta que no tiene ninguna subcobertura .

Elija una secuencia creciente de números irracionales $0\lt a_1\lt \ldots \lt a_n\lt\ldots\lt \sqrt 2/2$ convergiendo hacia $\sqrt 2/2$ y una secuencia decreciente de números irracionales $1\gt b_1\gt \ldots \gt b_n\gt\ldots\gt \sqrt 2/2$ también convergen a $\sqrt 2/2$ . A continuación, contemple la partición abierta (donde $[[x,y]]$ significa $[x,y]\cap\mathbb Q$ )

$$[[0,1 ]]= [[0,a_1 ]]\sqcup [[a_1,a_2 ]] \sqcup \ldots \bigsqcup \; \;\; [[b_1,1 ]]\sqcup [[b_2,b_1 ]] \ldots $$

Answer 5

Q es cualquier conjunto de infinito negativo hasta el infinito positivo, por lo que no está limitado por ambos lados y también no es cerrado set.here Q no es compacto, ya que no heines therom, Heines therom declaró como cualquier conjunto S se dice que es compacto si y sólo si el conjunto es a la vez limitada y cerrada.