Inversa de la matriz simétrica $M = A A^\top$

Question

Tengo una matriz, generados por el producto de un no-matriz cuadrada con su propia transposición:

$$M = A A^\top.$$

Necesito la inversa de a $M$, asumiendo $\det(M) \neq 0$.

Dada la naturaleza de la matriz$M$, ¿hay alguna especializados métodos de cálculo para encontrar su inversa, dando prioridad a la precisión de la velocidad? Gauss-Jordan es propenso a errores, y espero encontrar algo mejor que y con precisión comparable a la adj/det método.

$M$ tendrán que ser alrededor de $70 \times 70$ o $1000 \times 1000$ en tamaño.

He tenido una lectura rápida de la Matriz libro de cocina y de esta página, pero (en el momento actual de la 1 am) yo estoy luchando para ver cómo podía ayudar a mí.

En caso de que ayuda, en realidad estoy tratando de calcular:

$$B = (A A^\top)^{-1} A.$$

Answer 1

Descomposición de Cholesky. Es un método muy estable y funciona también en las matrices sparse.

Pero si está tratando de resolver la ecuación normal, puedo sugerir gradiente conjugado o SOR.

Answer 2

En realidad, no es necesario calcular el $(A A^T)^{-1}$ a calcular B. ¿Qué estás tratando de calcular es la inversa de a $A^T$, y se dan por

$$B = (AA^T)^{-1} A = {A^{-T}}_L = ((A^T)^T A^T)^{-1} (A^T)^T$$

Dado que, en su caso, el de la izquierda inversa existe, es equivalente a la pseudo-inversa de a $A^T$, la cual puede ser calculada por la enfermedad vesicular porcina. Y desde la izquierda (a la derecha) vectores singulares de una matriz son a la derecha (a la izquierda) vectores singulares de su transposición o la izquierda/a la pseudo inversa, y de una matriz y su transpuesta tienen los mismos valores propios, pero la pseudo-inversa ha invertido valores singulares (sin ceros), la pseudo-inversa de a $A^T$ tiene el mismo vectores singulares con Una, y tiene el invertida valores singulares de a $A$.

Así que, todo lo que tienes que hacer es calcular el SVD de a $A$, e invertir es distinto de cero valores singulares, entonces usted conseguirá $B$.

Answer 3

$ B = \left(A A^\top\right)^{-1}A = \left(A A^\top\right)^{-1}A A^\top \left(A^\top\right)^{-1} = \left(A A^\top\right)^{-1}A A^\top \left(A^\top\right)^{-1} = I \left(A^\top\right)^{-1} = A^{-\top} $