Edificio en Qiaochu de Yuanes de la respuesta, el problema es que no compruebe que $\alpha = -\phi^2$ se comporta como una raíz primitiva, pero para comprobar que no tiene más $n$th raíces en $\mathbb{F}_{p^2}$, distintas de las dadas por su $(p-1)$th raíz.
De hecho, ya ha demostrado el resultado parcial $\alpha$ tiene exactamente suficiente anidada raíces cuadradas si y sólo si $p = 3 \mod 4$, por lo que con probabilidad de $\frac{1}{2}$.
Si $n$ no es un múltiplo de a $2$ o $5$, escoja una primitiva $n$th raíz de la unidad $\zeta_n$, y podemos ver la extensión de $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\alpha,\zeta_n,\beta = \sqrt[n]\alpha)$
Para cualquier prime no dividiendo $n$, y diferente de $2$ o $5$,
denotar por $\sigma$ el Frobenius de morfismos.
Chebotarev del teorema implica que la densidad de los primos de cualquier posible acción de la $\sigma$ es siempre el mismo ($\frac1{2n\varphi(n)}$) :
$\sigma(\alpha) = \alpha^\epsilon$ $\epsilon = \pm 1$
$\sigma(\zeta_n) = \zeta_n^{p \mod n}$ (esto es del teorema de Dirichlet)
$\sigma(\beta) = \zeta_n^k \beta^\epsilon : \sigma(\sigma(\beta)\beta^{-\epsilon})^n = \sigma(\alpha^{\epsilon-\epsilon}) = 1$, lo $\sigma(\beta)\beta^{-\epsilon} = \zeta_n^k $ algunos $k \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Entonces para cualquier divisor $d$$n$, $d$th raíces de $\alpha$ $\mathbb{F}_{p^2}$ $\rho_i = (\zeta^i\beta)^{n/d}$ tal que $\rho_i = \sigma\sigma(\rho_i) $.
Pero
$$ \sigma\sigma(\rho_i^{n/d}) = \sigma\sigma(\zeta_n^{in/d}\beta^{n/d}) =\sigma(\zeta_n^{(pi+k)n/d}\beta^{-n/d}) = \zeta_n^{(p^2i+(p-1)k)n/d}\beta^{n/d} = \zeta_n^{(p-1)((p+1)i+k)n/d} \rho_i$$
Así fue equivalente a $(p-1)((p+1)i+k)n/d = 0 \mod n$, que también es $(p-1)((p+1)i+k) = 0 \mod d$ :
El número de $d$th raíces en el número de clases de $i$ mod $d$ tal que $(p-1)((p+1)i+k) = 0 \mod d$
Esto concuerda con lo que sabemos, por ejemplo, cuando se $d$ es primo, si $p = 1 \mod d$, entonces a partir de la $\alpha$ $(p-1)$th raíces, ha $d$th raíces ; si $p \neq \pm 1 \mod d$, $x \mapsto x^d$ es una permutación de $\mathbb{F}_{p^2}$, por lo que siempre podemos encontrar exactamente una raíz ; y si $p = -1 \mod d$ ha $d$th raíces, si y sólo si $k=0 \mod d$, lo que sucede 1/d de el tiempo.
El punto de tener un genérico $n$ en lugar de un primer es que nos dice que habiendo $q$th raíces es "independiente" de tener un $q'$th raíces para coprime $q$$q'$.
Ahora podemos decir que para los números primos $p$ otros de $2$ o $5$:
- con una probabilidad de $\frac12$, $\alpha \notin \mathbb{F}_{p^2}$ y $p$ es por lo tanto descalificado para ser una PFA.
El otro $\frac{1}{2}$ se divide de forma independiente para todos los números primos $q$ otros de $2$ o $5$ :
- con una probabilidad de $\frac1{(q-1)}$ si $p = 1 \mod q$ $\alpha$ $q$th raíces en $\mathbb{F}_{p^2}$.
- con una probabilidad de $1-\frac2{q-1}$, $p^2 \neq \pm 1 \mod q$ y $\alpha$ tiene un $q$th raíz en $\mathbb{F}_{p^2}$.
- con una probabilidad de $\frac1q$, $p = -1 \mod q$ y $\alpha$ no $q$th raíz en $\mathbb{F}_{p^2}$.
con una probabilidad de $\frac1{q(q-1)}$, $p = -1 \mod q$ y $\alpha$ $q$th raíces en $\mathbb{F}_{p^2}$, e $p$ es por lo tanto descalificado para ser una PFA.
para $q=5$, no hay ningún obstáculo para ser un PFA
- para $q=2$, $p$ no es una PFA con una probabilidad de $\frac12$
Por tanto es de esperar que la densidad de la PFA, con precisión, $\frac{10}{19} \Pi (1-\frac1{p(p-1)})$ donde $p$ rangos de todos los números primos.
