¿Podemos definir la derivada de una función cuyo dominio es un subconjunto de números racionales?

Question

Generalmente la derivada se define por una función de $f:A\to \mathbb{R}$ donde $A \subset \mathbb{R}$, y la habitual definición de la derivada en un punto de $a$ requieren de la existencia de un barrio de $a$ cuando la función está definida.

Por lo tanto, si $A\subset \mathbb{Q}$ parece que no podemos definir un derivado, ya que $A$ está totalmente desconectado.

Pero la definición de

$$ f'(a)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

sólo requieren la existencia de un límite, con el $\epsilon -\delta$ definición, se puede encontrar utilizando sólo racional de los valores de $h$.

De modo que las costuras que un "derivado" puede ser definido. O hay algo que no funciona?

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Esta pregunta es sugerido por la Aclaración si desconecta la función tiene derivada en los puntos definidos. , donde el OP pregunta por el derivability de la función $$ f:\{x=\dfrac{n}{2k+1} | n,k \in \mathbb{Z}\} \to \mathbb{R} \quad;\quad f(x)=(-2)^x $$

Answer 1

No hay ninguna razón para que un derivado no podía ser definida en un conjunto como $\mathbb Q$. Como nota, el límite $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(h)}{h}$$ todavía puede ser calculada, incluso si $a+h$ está restringido a sólo racional de los valores.

Creo que vale la pena señalar que el hecho de que $\mathbb Q$ está totalmente desconectado podría dar la impresión equivocada. La definición anterior sólo produce un error cuando se alimenta aislado de puntos que son los puntos con ningún otro de los puntos en el dominio en un abrir barrio. En el lenguaje de la topología, podríamos decir que los puntos tales que $\{x\}$ está abierto en el dominio de la función. Si o no el dominio está conectado es algo irrelevante. Así, usted no puede usar esta definición para una función definida sólo en $\mathbb Z$ donde cada punto es aislado. Pero funciona bien en cualquier subconjunto denso de $\mathbb R$, como $\mathbb Q$. Otra cosa similar que pensar es que no todos funcionan $f:\mathbb Q\rightarrow\mathbb R$ son continuos, a pesar de $\mathbb Q$ está totalmente desconectado.

Podemos evitar el uso de un derivado como uno podría darse cuenta de que una gran cantidad de teoremas (por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo) realmente necesita condiciones como "$f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ es diferenciable en todas partes", que no puede ser sustituido por $f:A\rightarrow\mathbb R$ ser diferenciable en todas partes en su dominio.

Answer 2

Esta no es una respuesta, pero esto podría llevar a una respuesta

Tomando la definición de un límite.... $\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

He encontrado que puede ser un derivado de la $(-2)^x$, pero sólo si $h\to0$ en una manera en la que el numerador es par y el denominador es un número impar (par/impar). Como $h\to\frac{2}{5}\to\frac{2}{101}\to\frac{2}{1000001}\to0$.

Esto es porque el uso de extraño numeradores y denominadores (impar/impar) resultado en derivados divergentes a $\infty$.

Esto es así porque para $(-2)^x$ el resultado es negativo cuando x es (impar/impar) o positivo cuando x es (par/impar).

Por ejemplo,$(-2)^{-1/15}=-.954841$$(-2)^{12/71}=1.124289$, lo que significa. $$(-2)^x=\begin{cases} 2^x & s=\left\{ {2n\over 2m+1}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}\frac{\text{even integer}}{\text{odd integer}}\\ -\left(2^x\right) & s=\left\{ {2n+1\over 2m+1}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}\frac{\text{odd integer}}{\text{odd integer}}\ \\ \text{undefined} & s=\left\{ {2n+1\over 2m}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}\frac{\text{odd integer}}{\text{even integer}} \end{cases} $$

Así, cuando aplicamos la definición formal de $\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ donde $f(x)=\left({-2}\right)^{x}$ $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}$$

En primer lugar si $h=\text{odd}/\text{even}$ como $1/2$ y tomamos $x$ $odd/odd$ o $x=1/3$ $f(x)$ ya está definido. Esto significa que todo el límite no está definido. Ahora para obtener el $f(x+h)$ debemos obtener la $x+h$$5/6$, lo que significa $f(x+h)$ también es indefinido whenver $h$=par/impar. Por lo tanto...

$$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-2^{x+h}-2^x}{h}$$ $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\text{undefined}-\text{undefined}}{h}$$ $$\text{Limit does not exist}$$

Ahora si $h=\text{odd}/\text{odd}$ $h=1/3$ y deje $x$ (par/impar) de la fracción como $x=2/3$. Por lo $f(x)=\left({2^x}\right)$; sin embargo $x+h=1$. Esta muestra bajo estas condiciones, $x+h$ siempre será (impar/impar) y por lo tanto $f(x+h)=-\left(2^{x+h}\right)$

Así que cuando x es impar/impar el límite será de $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-2^{x+h}-2^x}{h}$$
$$\lim_{h\to0}\frac{\left(\left({-{2}^{h}-1}\right)*{{2}^{x}}\right)}{h}\approx$$ $$\lim_{h\to0}\frac{-2\left(2\right)^{x}}{h}=$$ $$\lim_{h\to{0}}\frac{1}{h}*{-2\left(2\right)^{x}}$$ Ahora desde$-2({2})^x$ es siempre significativa, tenemos que analizar $\lim_{h\to0}\frac{1}{h}$. Desde que parte del límite no existe no existe derivados.

$$\text{Limit Does Not Exist}$$

Si $h=\text{odd}/\text{odd}$ $h=1/3$ pero $x$ es (impar/impar) de la fracción como $x=1/5$. Por lo $f(x)=-\left(2^x\right)$; sin embargo, $x+h=\frac{8}{15}$. Esto muestra que bajo estas condiciones, $x+h$ siempre es (par/impar) lo $f(x+h)=2^{x+h}$. $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2^{x+h}+2^x}{h}$$ $$\lim_{h\to0}\frac{\left(2^{h}+1\right)\left({2^x}\right)}{h}\approx$$ $$\lim_{h\to0}\frac{2\left({2}^{x}\right)}{h}=$$ $$\lim_{h\to0}\frac{1}{h}*2\left({2}^{x}\right)$$

Desde $2\left({2}\right)^{x}$ es siempre positiva, pero también ha $\lim_{h\to0}\frac{1}{h}$, con un límite que no existe ningún derivado.

$$\text{Limit Does Not Exist}$$

Pero si $h=\text{even}/\text{odd}=2/3$$x=\text{odd}/{\text{odd}}=1/3$$f(x)=-\left(2^x\right)$. Desde $x+h=3/3$, en estas condiciones, $x+h$ es siempre (impar/impar) y por lo $f(x+h)=-\left(2^{x+h}\right)$. $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-2^{x+h}+2^{x}}{h}=-\ln{(2)}{2^{x}}\to\text{For x=odd/odd}$$

Y si $h=\text{even}/\text{odd}=2/3$$x=\text{even}/{\text{odd}}=2/3$$f(x)=2^x$. Desde $x+h=4/3$, en estas condiciones, $x+h$ siempre es (par/impar) y por lo tanto $f(x+h)=2^{x+h}$. $$\lim_{h\to0}\frac{(-2)^{x+h}-(-2)^x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2^{x+h}-2^x}{h}=\ln{(2)}{2^x}\to\text{For x=even/odd}$$

$$\frac{d}{dx}(-2)^x=\begin{cases} \ln(2)2^x & s=\left\{ {2n\over 2m+1}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}\frac{\text{even integer}}{\text{odd integer}}\\ -\ln(2)2^x & s=\left\{ {2n+1\over 2m+1}\ |\ n, m \in \Bbb Z\right\}\frac{\text{odd integer}}{\text{odd integer}}\end{cases}=(-1)^x\ln({2}){2^x} $$

De acuerdo a lo que he escuchado de los matemáticos es posible definir un derivado en clúster de puntos. Sin embargo, para la define clúster de puntos de cada grupo deben tener el mismo límite.

Tome $\lim_{x\to\infty}\left({-1}^{x}\right)$ por ejemplo. Es ossilates entre el $-1,1,-1,1$ y no puede existir. Si puedo elegir (par/impar) para $x\to\infty$ ($2/3\to2000/3\to200000/3$) entonces la única obtenga $1$, pero si he de elegir (impar/impar) para $x\to\infty$ ($1/3\to10/3\to10000/3$) a continuación, sólo obtengo $-1$. Por lo tanto todas las secuencias para la definición de los intervalos de valores que se acerca algún valor debe tener el mismo límite.

Por el bien de los derivados del uso reemplace$x$$h$. Todos los intervalos de la $h$ desde el dominio de $x$ deben tener la misma derivada.

Así, por $\left({-2}\right)^{x}$ el derivado no debe existir. Sin embargo, si por el contrario nos llevó a $|\left({-2}\right)^{x}|$, entonces la derivada sería $\ln{\left(2\right)}|\left(-2\right)^{x}|$. De hecho, cuando se pone el valor absoluto de la derivada satisface el valor de la media y teorema de rolles teorema.